Выбор читателей
Популярные статьи
Особенности социального положения молодёжи:
- переходность положения;
- высокий уровень мобильности;
- освоение новых социальных ролей (работник, студент, гражданин, семьянин), связанных с изменением статуса;
- активный поиск своего места в жизни;
- благоприятные перспективы в профессиональном и карьерном плане;
- неустойчивость психики, подверженность влиянию, внутренняя противоречивость;
- низкий уровень толерантности;
- стремление проявить свою индивидуальность, что способствует возникновению молодёжной субкультуры и неформальных групп.
Этносы
— это большие группы людей, обладающие общностью культуры, языка, осознанием общей исторической судьбы. Стадиями развития этнических общностей являются род, племя, народность и нация.
Нация
— это исторически высшая стадия развития или форма этноса, характеризующаяся компактностью проживания, единством экономической жизни, исторического пути, языка, культуры, национального самосознания.
Межнациональный конфликт
- это осложнение отношений между нациями и народами вплоть до прямых военных действий.
В зависимости от причин и характера происхождения межнациональные конфликты бывают:
. социально-экономическими (безработица, задержки и невыплаты зарплаты, социальных пособий, монополия представителей одного из этносов в сферах или отраслях хозяйства);
. культурно-языковыми (связаны с защитой, возрождением и развитием родного языка, национальной культуры и прав национальных меньшинств);
. этнодемографическими (увеличение доли пришлого населения в связи с миграцией);
. этнотерриториально-статусными (несовпадение государственных или административных границ с границами расселения народов, требование малых народов о расширении или приобретении нового статуса);
. историческими (взаимоотношения в прошлом - вόйны, депортации и связанные с ними негативные аспекты исторической памяти, и т. д.);
. межрелигиозными и межконфессиональными;
. сепаратистскими (требование создать собственную независимую государственность или воссоединиться с соседним родственным с культурно-исторической точки зрения государством).
Причиной возникновения межэтнических конфликтов могут стать и любые необдуманные или заведомо провокационные заявления политиков, национальных лидеров, представителей духовенства, СМИ, происшествия бытового характера.
Принципы решения межнациональных конфликтов в современных условиях:
Социальный конфликт
— это столкновение противоположных целей, позиций, мнений и взглядов людей, участвующих в социальном взаимодействии.
Участники конфликта называются субъектами конфликта:
— свидетели
— это люди, наблюдающие за конфликтом со стороны;
— подстрекатели
— это те, кто подталкивает других участников к конфликту;
— пособники
— это люди, содействующие развитию конфликта советами, технической помощью или иными способами;
— посредники
— это люди, которые своими действиями пытаются предотвратить, остановить или разрешить конфликт.
Вопрос или благо, из-за которых разгорается конфликт, — это предмет конфликта.
Причина конфликта
— объективные обстоятельства, которые предопределяют появление конфликта, связана с потребностями конфликтующих сторон.
Повод
для конфликта — незначительное происшествие, которое способствует возникновению конфликта, но сам конфликт может не развиться, бывает как случайным, так и специально созданным.
Противоречие
— это фундаментальная несовместимость, несогласованность важных политических, экономических, социальных, этнических интересов.
1) внутренние
противоречия берут своё начало в столкновении внутригрупповых, внутриорганизационных и других интересов участников малых социальных групп;
2) внешние
противоречия возникают между двумя или несколькими социальными системами;
3) антагонистические
- непримиримо враждебные противоречия - лежат в основе конфликта, в котором его субъекты преследуют противоположные интересы. Примирить субъектов подобного конфликта можно лишь на время, отложив конфликт, но не разрешив его;
4) неантагонистические
противоречия имеют место между субъектами конфликта, интересы которых могут быть согласованы, т. е. данный вид противоречий подразумевает возможность компромиссов путём взаимных уступок;
5) основные противоречия
определяют возникновение и динамику конфликта, характеризуют взаимодействие между основными его субъектами;
6) неосновные противоречия
сопутствуют конфликту; как правило, они связаны с второстепенными субъектами конфликта;
7) объективные противоречия
обусловлены явлениями и процессами, не зависящими от воли и сознания людей, поэтому исключить данные противоречия невозможно без устранения самой их причины;
8) субъективные противоречия
обусловлены волей и сознанием людей: связаны со спецификой характеров, различиями в манере поведения, мировоззрении, ценностных ориентациях.
Противоречие обязательно лежит в основе любого конфликта и проявляется в социальном напряжении
— чувстве неудовлетворённости положением дел и готовности его изменить. Но противоречие может и не перерасти в конфликт.
Социальный конфликт
— это высшая стадия развития противоречий в системе отношений людей, социальных групп, социальных институтов, обществе в целом, которая характеризуется открытым противодействием и столкновением противоположных интересов общностей и индивидов.
\({\color{red}{\textbf{Факт 1. Про параллельность прямых}}}\)
\(\bullet\)
Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
\(\bullet\)
Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
\(\bullet\)
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
\(\bullet\)
Если прямая \(a\)
параллельна прямой \(b\)
, а та в свою очередь параллельна прямой \(c\)
, то \(a\parallel c\)
.
\(\bullet\)
Пусть плоскость \(\alpha\)
и \(\beta\)
пересекаются по прямой \(a\)
, плоскости \(\beta\)
и \(\pi\)
пересекаются по прямой \(b\)
, плоскости \(\pi\)
и \(\alpha\)
пересекаются по прямой \(p\)
. Тогда если \(a\parallel
b\)
, то \(p\parallel a\)
(или \(p\parallel b\)
):
\({\color{red}{\textbf{Факт 2. Про параллельность прямой и плоскости}}}\)
\(\bullet\)
Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);
2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);
3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
\(\bullet\)
Если прямая \(a\)
, не лежащая в плоскости \(\pi\)
, параллельна некоторой прямой \(p\)
, лежащей в плоскости \(\pi\)
, то она параллельна данной плоскости.
\(\bullet\) Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\) . Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\) , то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) - прямая \(m\) - параллельна прямой \(p\) .
\({\color{red}{\textbf{Факт 3. Про параллельность плоскостей}}}\)
\(\bullet\)
Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
\(\bullet\)
Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.
\(\bullet\)
Если две параллельные плоскости \(\alpha\)
и \(\beta\)
пересечены третьей плоскостью \(\gamma\)
, то линии пересечения плоскостей также параллельны: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a,
\ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]
\(\bullet\)
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow
A_1B_1=A_2B_2\]
\({\color{red}{\textbf{Факт 4. Про скрещивающиеся прямые}}}\)
\(\bullet\)
Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
\(\bullet\)
Признак:
Пусть прямая \(l\)
лежит в плоскости \(\lambda\)
. Если прямая \(s\)
пересекает плоскость \(\lambda\)
в точке \(S\)
, не лежащей на прямой \(l\)
, то прямые \(l\)
и \(s\)
скрещиваются.
\(\bullet\)
алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми \(a\)
и \(b\)
:
Шаг 2. В плоскости \(\pi\)
найти угол между прямыми \(a\)
и \(p\)
(\(p\parallel b\)
). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми \(a\)
и \(b\)
.
\({\color{red}{\textbf{Факт 5. Про перпендикулярность прямой и плоскости}}}\)
\(\bullet\)
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
\(\bullet\)
Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
\(\bullet\)
Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
\({\color{red}{\textbf{Факт 6. Про расстояния}}}\)
\(\bullet\)
Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
\(\bullet\)
Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
\(\bullet\)
Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
\(\bullet\)
алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми \(a\)
и \(b\)
:
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых \(a\)
провести плоскость \(\pi\)
параллельно другой прямой \(b\)
. Как это сделать: проведем плоскость \(\beta\)
через прямую \(b\)
так, чтобы она пересекала прямую \(a\)
в точке \(P\)
; через точку \(P\)
проведем прямую \(p\parallel b\)
; тогда плоскость, проходящая через \(a\)
и \(p\)
, и есть плоскость \(\pi\)
.
Шаг 2. Найдите расстояние от любой точки прямой \(b\)
до плоскости \(\pi\)
. Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми \(a\)
и \(b\)
.
\({\color{red}{\textbf{Факт 7. Про теорему о трех перпендикулярах (ТТП)}}}\)
\(\bullet\)
Пусть \(AH\)
– перпендикуляр к плоскости \(\beta\)
. Пусть \(AB, BH\)
– наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\)
. Тогда прямая \(x\)
в плоскости \(\beta\)
будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции: \[\begin{aligned}
&1. AH\perp \beta, \ AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\
&2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp
x\end{aligned}\]
Заметим, что прямая \(x\) необязательно должна проходить через точку \(B\) . Если она не проходит через точку \(B\) , то строится прямая \(x"\) , проходящая через точку \(B\) и параллельная \(x\) . Если, например, \(x"\perp BH\) , то и \(x\perp BH\) .
\({\color{red}{\textbf{Факт 8. Про угол между прямой и плоскостью,
а также угол между плоскостями}}}\)
\(\bullet\)
Угол между наклонной прямой и плоскостью - это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка \((0^\circ;90^\circ)\)
.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным \(0^\circ\)
. Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен \(90^\circ\)
.
\(\bullet\)
Чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку \(A\)
на этой прямой и провести перпендикуляр \(AH\)
к плоскости. Если \(B\)
– точка пересечения прямой с плоскостью, то \(\angle ABH\)
и есть искомый угол.
\(\bullet\)
Для того, чтобы найти угол между плоскостями \(\alpha\)
и \(\beta\)
, можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку \(A\)
в плоскости \(\alpha\)
.
Провести \(AH\perp h\)
, где \(h\)
- линия пересечения плоскостей.
Провести \(AB\)
перпендикулярно плоскости \(\beta\)
.
Тогда \(AB\)
– перпендикуляр к плоскости \(\beta\)
, \(AH\)
– наклонная, следовательно, \(HB\)
– проекция. Тогда по ТТП \(HB\perp h\)
.
Следовательно, \(\angle AHB\)
- линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.
Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Как правило, находить \(\angle AHB\) удобно из него.
\({\color{red}{\textbf{Факт 9. Про перпендикулярность плоскостей}}}\)
\(\bullet\)
Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. \
\(\bullet\) Заметим, что так как через прямую \(a\) можно провести бесконечное множество плоскостей, то существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных \(\beta\) (и проходящих через \(a\) ).
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Некоторые определения:
Аксиомы стереометрии:
Следствия из аксиом стереометрии:
Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:
Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:
Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β .
Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l 1 , по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l .
Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b , либо AB и CD параллельны, то пишут:
Несколько теорем:
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:
Определение: Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β , то пишут:
Теоремы:
Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).
Определение: Две прямые называются скрещивающимися , если не существует плоскости, в которой они обе лежат.
Теоремы:
Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b O в пространстве и проведем через нее прямые a 1 и b 1 , параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a 1 и b 1 .
Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:
Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b ) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a 1 параллельна a ). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a 1 и b ).
Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b , то пишут:
Определение: Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:
Теоремы:
Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β , то пишут, как обычно:
Теоремы:
Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.
Пусть точка А не лежит на плоскости α . Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α , и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α . Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α , называется отрезок АО , точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α , а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О , то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α , а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α . Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.
Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:
Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:
Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:
Определения расстояний объектами в пространстве:
Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α .
Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).
Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА ’ на чертеже выше).
Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.
Определения:
Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:
Определения:
Теоремы:
Определения:
Определения:
Свойства и формулы для призмы:
где: S осн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE ), h – высота (на чертеже это MN ).
где: S сеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA 1 или BB 1 и так далее).
где: P сеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.
Виды призм в стереометрии:
где: P осн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h ). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = S осн ∙h = S осн ∙l .
Свойства правильной призмы:
Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.
Другие свойства и определения:
d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
Определения:
Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):
Если все боковые ребра (SA , SB , SC , SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:
Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны), то:
где: P – периметр основания, a – длина апофемы.
Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.
Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.
Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).
где: S осн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.
где: S бок – площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 – площади боковых граней.
Определения:
На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC , ADC , CBD , BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):
Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.
Определения и свойства:
Объём усечённой пирамиды равен:
где: S 1 и S 2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:
где: P 1 и P 2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:
Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.
Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О , равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = OВ = OС = OD = OA . Тогда точка О – центр описанного шара.
Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу . При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.
Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β .
На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:
ОМ = ОО 1
В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду , если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).
Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).
Важное свойство:
Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).
Определения:
Теоремы:
Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О . Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB . Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B ), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.
Определения:
Теоремы:
Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу , если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.
Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:
Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.
Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:
Теоремы:
где: R – радиус сферы.
В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:
где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:
Площадь внешней поверхности шарового сегмента:
Площадь полной поверхности шарового сегмента:
Объем шарового сегмента:
В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:
где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:
где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r 1 , r 2 − радиусы оснований шарового слоя, S 1 , S 2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.
В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:
где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:
Определения:
Призма называется вписанной в цилиндр , если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:
Призма называется описанной около цилиндра , если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:
Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр , если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:
Цилиндр называется вписанным в сферу , если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:
На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R ), высоту цилиндра (h ) и радиус цилиндра (r ):
Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:
где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.
Площадью полной поверхности цилиндра , как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:
Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S полн. цилиндра вычисляется по формуле:
Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.
Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:
Определения:
Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:
где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: S осн = πR 2 . Следовательно, площадь полной поверхности конуса S полн. конуса вычисляется по формуле:
Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:
где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.
Определения:
Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
где: S 1 = π r 1 2 и S 2 = π r 2 2 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r 1 и r 2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.
Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:
где: P 1 = 2π r 1 и P 2 = 2π r 2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса , очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:
Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.
Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:
Сфера (шар) называется вписанной в конус , если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:
Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Самые часто задаваемые вопросы
Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.
Какие виды оплаты вы принимаете?
Ответ
Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.
Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.
Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.
Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?
Ответ
Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.
Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?
Ответ
Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.
Последние отзывы
Виктор:
Очень доволен своим дипломом. Спасибо. Если бы Вы еще паспорта научились делать, это было бы идеально.
Карина:
Сегодня получила свой диплом. Спасибо за качественную работу. Все сроки тоже соблюдены. Обязательно буду рекомендовать Вас всем своим знакомым.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Статьи по теме: | |
При каких условиях после месячных появляются кровянистые выделения причин возникновения нарушения под влиянием внешних факторов и гормонов
Порой бывает достаточно сложно отличить нормальные естественные причины... Успение праведной анны, матери пресвятой богородицы
Очень часто, обращаясь к иконам святой Анны или же с молитвой о помощи и... Человек умер. Что делать? Важнейшие православные традиции и обряды, связанные с похоронами. Православное учение о жизни после смерти Что такое смерть с точки зрения православия
Что такое смерть? «Верь, человек, тебя ожидает вечная смерть», - главный... |