Экономико математическое моделирование является методом. Методы экономико-математического моделирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(ТФ ГОУ ВПО РГТЭУ)

Реферат по математике на тему:

«Экономико-математические модели»

Выполнили:

Студентки 2 курса

«Финансы и кредит»

дневное отделение

Максимова Кристина

Витка Наталья

Проверил:

Доктор технических наук,

профессор С.В. Юдин _____________

Введение

1.Экономико-математическое моделирование

1.1 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

1.2 Экономико-математические методы

Разработка и применение экономико-математических моделей

2.1 Этапы экономико-математического моделирования

2.2 Применение стохастических моделей в экономике

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность. Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Почему можно говорить об эффективности применения методов моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем как:

-изменчивость (динамичность);

-противоречивость поведения;

-тенденция к ухудшению характеристик;

-подверженность воздействию окружающей среды

предопределяют выбор метода их исследования.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Цель данной работы - раскрыть понятие экономико-математических моделей и изучить их классификацию и методы, на которых они базируются, а также рассмотреть их применение в экономике.

Задачи данной работы: систематизация, накопление и закрепление знаний об экономико-математических моделях.

1.Экономико-математическое моделирование

1.1 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ реального объекта (процессов), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием . Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процессов). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процессов), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Экономико-математические модели - это модели экономических объектов или процессов, при описании которых используются математические средства. Цели их создания разнообразны: они строятся для анализа тех или иных предпосылок и положений экономической теории, логического обоснования экономических закономерностей, обработки и приведения в систему эмпирических данных. В практическом плане экономико-математические модели используются как инструмент прогноза, планирования, управления и совершенствования различных сторон экономической деятельности общества.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По целевому назначению модели делятся на:

·Теоретико-аналитические (используются в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов);

·Прикладные (применяются в решении конкретных экономических задач, таких как задачи экономического анализа, прогнозирования, управления).

По учету фактора времени модели подразделяются на:

·Динамические (описывают экономическую систему в развитии);

·Статистические (экономическая система описана в статистике, применительно к одному определенному моменту времени; это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени).

По длительности рассматриваемого периода времени различают модели:

·Краткосрочного прогнозирования или планирования (до года);

·Среднесрочного прогнозирования или планирования (до 5 лет);

·Долгосрочного прогнозирования или планирования (более 5 лет).

По цели создания и применения различают модели:

·Балансовые;

·Эконометрические;

·Оптимизационные;

·Сетевые;

·Систем массового обслуживания;

·Имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий, и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель, наряду с машинными решениями, содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

·Детерминированные (с однозначно определенными результатами);

·Стохастические (вероятностные; с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

·Линейного программирования (оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений);

·Нелинейного программирования (оптимальных значений целевой функции может быть несколько);

·Корреляционно-регрессионные;

·Матричные;

·Сетевые;

·Теории игр;

·Теории массового обслуживания и т.д.

С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации, осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

моделирование математический стохастический

1.2 Экономико-математические методы

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов, во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей, в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей, которые следует понимать как продукт процесса экономико-математического моделирования, а экономико-математические методы - как инструмент.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав.

С известной долей условности классификацию этих методов можно представить следующим образом.

·Экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем.

·Математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины - выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, теория индексов и др.

·Математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование.

·Методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, сетевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и методы принятия решений.

В оптимальное программирование в свою очередь входят линейное и нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, стохастическое программирование и др.

·Методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального ценообразования функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым - методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели теории фирмы и т.д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут быть оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики.

·Методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.

В экономико-математических методах применяются различные разделы математики, математической статистики, математической логики. Большую роль в решении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теория алгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принесло ощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенного производства, определения оптимальных темпов роста капиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрации производства, задач выбора оптимальных способов производства, определения оптимальной последовательности запуска в производство, задачи подготовки производства методами сетевого планирования и многих других.

Для решения стандартных проблем характерны четкость цели, возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

Существуют следующие предпосылки использования методов экономико-математического моделирования, важнейшими из которых являются высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа, а также высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами.

Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, вести систему обозначений и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

2. Разработка и применение экономико-математических моделей

2.1 Этапы экономико-математического моделирования

Процесс экономико-математического моделирования - это описание экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

2.Построение математической модели;

.Математический анализ модели;

.Подготовка исходной информации;

.Численное решение;

Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ . Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2.Построение математической модели . Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таком образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности т неопределенности и т.д.

Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом.

Одна из важный особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; сначала необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

.Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неищвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

4.Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5.Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6.Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявить некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

2.2 Применение стохастических моделей в экономике

Основу эффективности банковского менеджмента составляет планомерный контроль за оптимальностью, сбалансированностью и устойчивостью функционирования в разрезе всех элементов, формирующих ресурсный потенциал и определяющих перспективы динамического развития кредитного учреждения. Его методы и инструменты требуют модернизации с учетом изменяющихся экономических условий. В то же время необходимость совершенствования механизма реализации новых банковских технологий обуславливает целесообразность научного поиска.

Используемые в существующих методиках интегральные коэффициенты финансовой устойчивости (КФУ) коммерческих банков зачастую характеризуют сбалансированность их состояния, но не позволяют дать полную характеристику тенденции развития. Следует учитывать, что результат (КФУ) зависит от многих случайных причин (эндогенного и экзогенного характера), которые не могут быть заранее полностью учтены.

В связи с этим оправданно рассматривать возможные результаты исследования устойчивого состояния банков в качестве случайных величин, имеющих одинаковое распределение вероятностей, поскольку исследования проводятся по одной и той же методике с использованием одинакового подхода. Кроме того, они взаимно независимы, т.е. результат каждого отдельного коэффициента не зависит от значений остальных.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события x 1 , x 2 , …, x n образуют полную группу, следовательно, сумма их вероятностей будет равна 1: p 1 +p 2 +…+p n =1 .

Дискретная случайная величина X - коэффициент финансовой устойчивости банка «А»,Y - банка «В», Z - банка «С» за заданный период. В целях получения результата, дающего основание сделать вывод об устойчивости развития банков, оценка была осуществлена на базе 12-летнего ретроспективного периода (табл.1).

Таблица 1

Порядковый номер годаБанк «А»Банк «В»Банк «С» 11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,01771,1121,1151,02981,3111,3281,06591,2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,296Шаг0,07550,04230,0485

Для каждой выборке по определенному банку значения разбиты на N интервалов, определены минимальное и максимальное значение. Процедура определения оптимального числа групп основана на применении формулы Стерджесса:

N =1+3,322 * ln N;

N =1+3,322 * ln12=9,525?10,

Где n - число групп;

N - число совокупности.

h=(КФУ max - КФУ min ) / 10.

Таблица 2

Границы интервалов значений дискретных случайных величин X, Y, Z (коэффициентов финансовой устойчивости) и частоты появлений данных значений в обозначенных границах

Номер интервалаГраницы интерваловЧастота появлений (n )XYZXYZ 10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Исходя из найденного шага интервала, были рассчитаны границы интервалов путем прибавления к минимальному значению найденного шага. Полученное значение - это граница первого интервала (левая граница - LG). Для нахождения второго значения (правой границы PG) к найденной первой границе снова прибавляет я шаг и т.д. Граница последнего интервала совпадает с максимальным значением:

LG 1 =КФУ min ;

PG 1 =КФУ min +h;

LG 2 =PG 1;

PG 2 =LG 2 +h;

PG 10 =КФУ max .

Данные по частоте попадания коэффициентов финансовой устойчивости (дискретных случайных величин X, Y, Z) сгруппированы в интервалы, и определена вероятность попадания их значений в заданные границы. При этом левое значение границы входит в интервал, а правое - нет (табл.3).

Таблица 3

Распределение дискретных случайных величин X, Y, Z

ПоказательЗначения показателяБанк «А»X 0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X) 0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y 0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y) 0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z 0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z) 0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоте появлений значений n найдены их вероятности (частота появления делится на 12, исходя из числа единиц совокупности), а также в качестве значений дискретных случайных величин были использованы середины интервалов. Законы их распределения:

P i = n i /12;

X i = (LG i +PG i )/2.

На основании распределения можно судить о вероятности неустойчивого развития каждого банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так с вероятностью 0,083 банк «А» может достигнуть значения коэффициента финансовой устойчивости, равное 0,853. Другими словами, вероятность того, что его расходы превысят доходы, составляет 8,3 %. По банку «В» вероятность падения коэффициента ниже единицы также составила 0,083, однако с учетом динамичного развития организации это снижение все же окажется незначительным - до 0,926. Наконец, высока вероятность (16,7%), что деятельность банка «С», при прочих равных условиях, охарактеризуется значением финансовой устойчивости, равным 0,835.

В то же время по таблицам распределений можно увидеть вероятность устойчивого развития банков, т.е. сумму вероятностей, где варианты коэффициентов имеют значение, большее 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можно наблюдать, что наименее устойчивое развитие ожидается в банке «С».

В целом закон распределения задает случайную величину, однако чаще целесообразнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Их называют числовыми характеристиками случайной величины, к ним относится математическое ожидание. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины и оно тем больше приближается к среднему значению, чем больше было проведено испытаний.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных величин на ее вероятности:

M(X) = x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

Результаты расчетов значений математических ожиданий случайных величин представлены в табл.4.

Таблица 4

Числовые характеристики дискретных случайных величин X, Y, Z

БанкМатематическое ожиданиеДисперсияСреднее квадратическое отклонение «А»M(X) = 1,187D(X) =0,027?(x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010?(y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012?(z) = 0,112

Полученные математические ожидания позволяют оценить средние значения ожидаемых вероятных значений коэффициента финансовой устойчивости в будущем.

Так по расчетам можно судить, что математическое ожидание устойчивого развития банка «А» составляет 1,187. Математическое ожидание банков «В» и «С» составляет 1,124 и 1,037 соответственно, что отражает предполагаемую доходность их работы.

Однако, зная лишь математическое ожидание, показывающее «центр» предполагаемых возможных значений случайной величины - КФУ, еще нельзя судить ни о его возможных уровнях, ни о степени их рассеянности вокруг полученного математического ожидания.

Другими словами, математическое ожидание в силу своей природы полностью устойчивости развития банка не характеризует. По этой причине возникает необходимость вычисления других числовых характеристик: дисперсии и среднеквадратического отклонения. Которые позволяют оценить степень рассеянности возможных значений коэффициента финансовой устойчивости. Математические ожидания и средние квадратические отклонения позволяют оценить интервал, в котором будут находиться возможные значения коэффициентов финансовой устойчивости кредитных организаций.

При сравнительно высоком характерном значении математического ожидания устойчивости по банку «А» среднее квадратическое отклонение составило 0,164, что говорит о том, что устойчивость банка может либо повыситься на эту величину, либо снизиться. При отрицательном изменении устойчивости (что все же маловероятно, учитывая полученную вероятность убыточной деятельности, равную 0,083) коэффициент финансовой устойчивости банка останется положительным - 1, 023 (см. табл. 3)

Деятельность банка «В» при математическом ожидании в 1,124, характеризуется меньшим размахом значений коэффициента. Так, даже при неблагоприятном стечении обстоятельств банк останется устойчивым, поскольку среднее квадратическое отклонение от прогнозируемого значения составило 0, 101, что позволит ему остаться в положительной зоне доходности. Следовательно, можно сделать вывод об устойчивости развития данного банка.

Банк «С», напротив, при невысоком математическом ожидании своей надежности (1, 037) столкнется при прочих равных условиях с недопустимым для него отклонением, равным 0,112. При неблагоприятной ситуации, а также учитывая высокий процент вероятности убыточной деятельности (16,7%), данная кредитная организация, скорее всего, снизит свою финансовую устойчивость до 0,925.

Важно заметить, что, сделав выводы об устойчивости развития банков, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет коэффициент финансовой устойчивости в итоге испытания; это зависит от многих причин, учесть которые невозможно. С этой позиции о каждой случайной величине мы располагаем весьма скромными сведениями. В связи с чем вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

Однако оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Оценивая устойчивость развития банков, остается оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа ?. Дать интересующую нас оценку позволяет неравенство П.Л. Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ? не меньше, чем :

или в случае обратной вероятности:

Учитывая риск, связанный с потерей устойчивости, проведем оценку вероятности отклонения дискретной случайной величины от математического ожидания в меньшую сторону и, считая равновероятностными отклонения от центрального значения как в меньшую, так и в большую стороны, перепишем неравенство еще раз:

Далее, исходя из поставленной задачи необходимо оценить вероятность того, что будущее значение коэффициента финансовой устойчивости не окажется ниже 1 от предлагаемого математического ожидания (для банка «А» значение ? примем равное 0,187, для банка «В» - 0,124, для «С» - 0.037) и произведем расчет данной вероятности:

банк «А»:

банк «С»:

Согласно неравенству П.Л. Чебышева, наиболее устойчивым в своем развитии является банк «В», поскольку вероятность отклонения ожидаемых значений случайной величины от ее математического ожидания невысокая (0,325), при этом она сравнительно меньше, чем по другим банкам. На втором месте по сравнительной устойчивости развития располагается банк «А», где коэффициент этого отклонения несколько выше, чем в первом случае (0,386). В третьем банке вероятность того, что значение коэффициента финансовой устойчивости отклониться в левую сторону от математического ожидания больше чем на 0, 037, является практически достоверным событием. Тем более, если учесть, что вероятность не может быть больше 1, превышающие значения, согласно доказательству Л.П. Чебышева, необходимо принимать за 1. Другими словами, факт того, что развитие банка может перейти в неустойчивую зону, характеризующуюся коэффициентом финансовой устойчивости меньше 1, является достоверным событием.

Таким образом, характеризуя финансовое развитие коммерческих банков, можно сделать следующие выводы: математическое ожидание дискретной случайной величины (среднее ожидаемое значение коэффициента финансовой устойчивости) банка «А» равно 1,187. Среднее квадратическое отклонение этой дискретной величины составляет 0,164, что объективно характеризует небольшой разброс значений коэффициента от среднего числа. Однако степень неустойчивости этого ряда подтверждается достаточно высокой вероятностью отрицательного отклонения коэффициента финансовой устойчивости от 1, равной 0,386.

Анализ деятельности второго банка показал, что математическое ожидание КФУ равно 1,124 при среднем квадратическом отклонении 0,101. Таким образом, деятельность кредитной организации характеризуется небольшим разбросом значений коэффициента финансовой устойчивости, т.е. является более концентрированной и стабильной, что подтверждается сравнительно низкой вероятностью (0,325) перехода банка в зону убыточности.

Устойчивость банка «С» характеризуется невысоким значением математического ожидания (1,037) и также небольшим разбросом значений (среднеквадратическое отклонение равно 0,112). Неравенство Л.П. Чебышева доказывает тот факт, что вероятность получения отрицательного значения коэффициента финансовой устойчивости равна 1, т.е. ожидание положительной динамики его развития при прочих равных условиях будет выглядеть весьма необоснованным. Таким образом, предложенная модель, базирующаяся на определении существующего распределения дискретных случайных величин (значений коэффициентов финансовой устойчивости коммерческих банков) и подтверждаемая оценкой их равновероятностного положительного или отрицательного отклонения от полученного математического ожидания, позволяет определить ее текущий и перспективный уровень.

Заключение

Применение математики в экономической науке, дало толчок в развитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в части методов экономико-математической модели. Пословица говорит: «Семь раз отмерь - Один раз отрежь». Использование моделей есть время, силы, материальные средства. Кроме того, расчёты по моделям противостоят волевым решениям, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные. Экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

В работе было выяснено, что экономико-математические модели можно разделить по признакам:

·целевого назначения;

·учета фактора времени;

·длительности рассматриваемого периода;

·цели создания и применения;

·учета фактора неопределенности;

·типа математического аппарата;

Описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей базируется на использовании одного из экономико-математических методов, которые применяются на всех уровнях управления.

Особенно большую роль приобретают экономико-математические методы по мере внедрения информационных технологий во всех областях практики. Также были рассмотрены основные этапы процесса моделирования, а именно:

·постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

·построение математической модели;

·математический анализ модели;

·подготовка исходной информации;

·численное решение;

·анализ численных результатов и их применение.

В работе была представлена статья кандидата экономических наук, доцента кафедры финансов и кредита С.В. Бойко, в которой отмечается, что перед отечественными кредитными организациями, подверженными влиянию внешней среды, стоит задача поиска управленческих инструментов, предполагающих реализацию рациональных антикризисных мер, направленных на стабилизацию темпов роста базовых показателей их деятельности. В этой связи повышается важность адекватного определения финансовой устойчивости с помощью различных методик и моделей, одной из разновидностей которых являются стохастические (вероятностные) модели, позволяющие не только выявить предполагаемые факторы роста или снижения устойчивости, но и сформировать комплекс превентивных мероприятий по ее сохранению.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Список литературы

1)Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. -4-е изд., испр. - М.: Дело, 2003.

)Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.

)Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.М. и др. Математическое моделирование экономических процессов. - М.: Агропромиздат, 1990.

)Под ред. Федосеева В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели:Учебное пособие для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 2001.

)Савицкая Г.В. Экономический анализ: Учебник. - 10-е изд., испр. - М.:Новое знание, 2004.

)Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002

)Исследование операций. Задачи, принципы, методология: учеб. пособие для вузов / Е.С. Вентцель. - 4-е изд., стереотип. - М. :Дрофа, 2006. - 206, с. : ил.

) Математика в экономике: учебное пособие/ С.В.Юдин. - М.: Изд-во РГТЭУ,2009.-228 с.

)Кочетыгов А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие/ Тул. Гос. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, Вероятностные модели в оценке финансовой устойчивости кредитных организаций /С.В. Бойко// Финансы и кредит. - 2011. N 39. -

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Группа экономико-математических методов делится на две подгруппы:

· Методы математической экстраполяции;

· Методы математического моделирования.

Математическая экстраполяция представляет собой распространение закона изменения функции из области ее наблюдения на область, лежащую вне отрезка наблюдения.

Методы экстраполяции основываются на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключается в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее.

Суть состоит в том, что траектория развития объекта до момента, с которого начинается прогнозирование ею будущего развития, может быть выражена после соответствующей обработки фактических данных какой либо математической функцией, адекватно описывающей закономерности предшествующего развития объекта

В зависимости от особенностей изменения уровней в ряду динамики приемы экстраполяции могут быть простыми и сложными.

Первую группу составляют методы прогнозирования, основанные на предположении относительного постоянства в будущем абсолютных значений уровней, среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста.

Вторая группа методов основана на выявлении основной тенденции, то есть применении статистических формул, описывающих тренд. Их можно разделить на два основных типа: на адаптивные и аналитические (кривые роста). Адаптивные методы прогнозирования основаны на том, что процесс реализации их заключается в вычислении последовательных во времени значений прогнозируемого показателя с учетом степени влияния предыдущих уровней. К ним относятся методы скользящей и экспоненциальной средних, метод гармонических весов, метод авторегрессионых преобразований.

В основе аналитических методов (кривых роста) прогнозирования положен принцип получения с помощью метода наименьших квадратов оценки детерминированной компоненты Ft, характеризующей основную тенденцию.

Суть метода состоит в том, что траектория развития объекта до момента, с которого начинается прогнозирование, может быть выражена после соответствующей обработки фактических данных какой-либо математической функцией адекватно описывающей закономерности предшествующего развития. Она осуществляется следующим образом:

1. необходимо получить достаточно продолжительный во времени ряд показателей;

2. необходимо построить эмпирическую кривую, графически отображающую динамику этого показателя во времени;

3. необходимо выровнять ряд с помощью граф анализа или статистического подбора функций, который максимизирует приближение к фактическим значениям динамического ряда;

4. исчисляем коэффициент или параметр этой функции (a,b,c…), в результате получится простейшая математическая модель, пригодная для прогноза во времени, при этом предполагают, что совокупный фактор, определяющий тенденции динамического ряда в прошлом в среднем сохранит свою силу.

В экономических исследованиях наиболее распространенным методом прогнозной экстраполяции является метод, основанный на сглаживании временных рядов.

Последовательность расположенных в хронологическом порядке статистических показателей, которые характеризуют изменение экономического явления во времени, представляет собой временной (динамический) ряд. Отдельные значения показателей (наблюдения) временного ряда называются уровнями этого ряда.

Временные ряды подразделяются на моментные и интервальные.

Целью анализа временных рядов экономических явлений за определенный интервал времени является установление тенденции их изменения за рассматриваемый период, которая покажет направление развития изучаемого явления.

Для того чтобы выявить общую тенденцию изменения экономических явлений в течение изучаемого периода времени, следует провести сглаживание временного ряда. Необходимость сглаживания временных рядов обусловлена тем, что помимо влияния на уровни ряда главных факторов, которые в конечном итоге формируют конкретное значение неслучайной компоненты (тренда), на них действуют случайные факторы, которые вызывают отклонения фактических (наблюдаемых) значений уровней ряда от тренда.

Под трендом понимается характеристика основной тенденции временного ряда значений определенного показателя, т.е. основная закономерность движения его во времени, свободная от случайных воздействий.

Таким образом, отдельные уровни временного ряда (y t ) представляют собой результат воздействия главных факторов, которые формируют конкретное значение неслучайной (детерминированной) компоненты (), а также случайной компоненты (е t), обусловленной воздействием случайных факторов, значение которой составляет отклонение фактических (наблюдаемых) значений уровней ряда от тренда. Для устранения случайных отклонений осуществляется сглаживание временного ряда.

Неслучайные компоненты уровней временного ряда могут быть выражены некоторой аппроксимирующей функцией, отражающей закономерности развития исследуемого явления.

Рассмотрим прогнозную экстраполяцию, основанную на сглаживании временных рядов по методу наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов состоит в определении параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда, т.е. в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами.

Таким образом, суть сглаживания временного ряда наблюдаемых значений показателя состоит в том, что фактические (наблюдаемые) уровни ряда заменяются уровнями, рассчитанными на основе определенной функции, которая в наибольшей степени соответствует наблюдаемым значениям показателей динамического ряда.

Графиком линейной функции является прямая.

Для того чтобы определить параметры а и А уравнения прямой, следует решить систему уравнений:

Часто данные временного ряда имеют нелинейную зависимость, которая выражается в виде квадратичной функции: у = ах 2 + bх + с. Графиком квадратичной функции является парабола. Для того чтобы определить параметры а,b, с уравнения параболы, следует решить систему уравнений:

Экономико-математическое моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков.

Экономико-математическая модель - это система формализованных соотношений, которые описывают основные взаимосвязи элементов, образующих определенную экономическую систему.

В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, отраслевые, региональные модели и модели макроуровня (отдельных предприятий, фирм).

Примером экономико-математической модели на макроуровне может служить модель производственной функции при прогнозировании объема валового внутреннего продукта (ВВП) страны, которая имеет следующий вид:

Следует отметить, что расчет экономико-математических моделей проводится по соответствующим компьютерным программам.

Экономико-математические модели используются для разработки межотраслевого баланса, моделирование капитальных вложений, трудовых ресурсов и т. д.

Методы планирования как составная часть методологии планирования представляют собой совокупность расчетов, которые необходимы для разработки отдельных разделов и показателей плана и их обоснования. При этом широко используются достижения отраслевых экономических наук: экономической статистики; экономики промышленности; экономики сельского хозяйства; экономики строительства и других. При планировании показателей важно не только рассчитать их значение в плановом периоде, но и выявить возможные резервы его улучшения и вовлечь их в хозяйственный оборот.

К основным методам планирования, которые широко используются в экономической практике относятся следующие: балансовый метод; нормативный метод; программно-целевой метод; экономико-статистические методы; экономико-математические методы.

Балансовый метод - обеспечивает увязку потребностей и ресурсов как в масштабе всего общественного производства, так и на уровне отрасли и отдельного предприятия. В практике планирования применяются следующие виды балансов: 1) материальные балансы; 2) стоимостные балансы; 3) балансы трудовых ресурсов.

Принципиальная схема материального баланса в натуральных единицах измерения следующая:

К стоимостным балансам относятся: межотраслевой баланс производства и распределения продукции, работ и услуг; государственный бюджет и др. В качестве баланса трудовых ресурсов в одной из тем курса будет рассмотрен сводный баланс трудовых ресурсов.

Нормативный, метод планирования основан на разработке и использовании в планировании норм и нормативов. В качестве примера можно привести норму расхода различных материалов в натуральном измерении на единицу выпускаемой продукции. В качестве нормативов можно привести, как пример, норматив отчисления денежных средств из прибыли предприятия в виде налогов.

Программно-целевой метод планирования основан на разработке социально-экономических программ для решения отдельных социально-экономических проблем. Этот метод предусматривает определение комплекса взаимосвязанных организационно-правовых и финансово-экономических мероприятий, направленных на реализацию разработанных программ. Использование этого метода предусматривает концентрацию ресурсов на решение важнейших проблем.

Экономико-статистические методы планирования представляют собой совокупность отдельных методов, с помощью которых рассчитываются отдельные социально-экономические показатели на плановый период и их динамика. Определяется абсолютная и относительная динамика показателей, т.е. изменение их во времени.

Методы экономико-математического моделирования или оптимального планирования позволяют решать задачи отыскания минимальных или максимальных значений целевой функции. Основные положения экономико-математического моделирования состоят в определении методики выбора и задания критерия оптимальности, формализация модели функционирования объекта управления, построения ограничений, по ресурсам и заданиям, разработка алгоритма численного анализа модели, анализа фактического развития и совершенствования разработанных средств формирования решений при управлении производством.

Классифицировать экономико-математические модели можно по различным основаниям.

1. По целевому назначению модели можно делить на:

· теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее общих свойств и закономерностей развития экономических процессов;

· прикладные, используемые для решения конкретных задач.

2. По уровням исследуемых экономических процессов:

· производственно-технологические;

· социально-экономические.

3. По характеру отражения причинно-следственных связей:

· детерминированные;

· недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие фактор неопределённости.

4. По способу отражения фактора времени:

· статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени);

· динамические, характеризующие изменения процессов во времени.

5. По форме математических зависимостей:

· линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего получили большое распространение;

· нелинейные.

6. По степени детализации (степени огрубления структуры):

· агрегированные («макромодели»);

· детализированные («микромодели»).

На практике наиболее часто применяются следующие способы построения экономико-математических моделей:

1. Линейное программирование – линейное преобразование переменных в системах линейных уравнений. Сюда можно отнести: симплекс-метод, распределительный метод, статический матричный метод решения материальных балансов.

2. Дискретное программирование представлено двумя классами методов: локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, например, метод ветвей и границ.

3. Математическая статистика используется для корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.

4. Динамическое программирование используется для планирования и анализа экономических процессов во времени. Динамическое программирование представляется в виде многошагового вычислительного процесса с последовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят сюда же имитационное моделирование .

5. Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для определения стратегии поведения конфликтующих сторон.

6. Теория массового обслуживания - большой класс методов, где на основе теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, характеризуемых как системы массового обслуживания.

7. Теория управления запасами объединяет в себе методы решения задач, в общей формулировке сводящихся к определению рационального размера запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.

8. Стохастическое программирование. Здесь исследуемые параметры являются случайными величинами.

9. Теория графов - направление математики, где на основе определенной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики .

Список использованных источников

1. Азоев Г.Л. Конкуренция: анализ, стратегия и практика. - М.: Центр экономики и маркетинга, 2001г.

2. Алексеева М.М. «Планирование деятельности фирмы», Москва «Финансы и статистика», 2000 год.

3. Афанасьев М.П. Маркетинг: Стратегия и практика фирмы - М.: Финстат, 2001г.

4. Веснин В.Р. Основы менеджмента. Учебник - М.: Триада, 2000 г.

5. Виханский О.С. Стратегическое управление: Учебник для вузов по напр. И спец. «Менеджмент» - М.: Гардарика, 2000г.

6. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка. Учебное пособие. - М.: 2001 г.

7. Градов А.П. Экономическая стратегия фирмы. Учебник - С-П.: Специальная литература, 2000 г.

8. Ильин А.И. Планирование на предприятии: Учеб. Пособие. В 2 ч. Ч 1. Стратегическое планирование. - Мн.: ООО «Новое знание», 2000г.

9. Литвак Б.Г. Управленческие решения. Учебное пособие - М.: ЭКМОС 2001 г.

10. Румянцева З.П. Менеджмент организаций. Учебное пособие. - М.: Инфра-М, 2001г.

Методы экономико-математического моделирования во внутрипроизводственном планировании

Викулова Мария Вячеславна,

аспирант Нижегородского государственного университета им. Лобачевского,

коммерческий директор ООО «Техноинновация».

Процесс разработки инновационных программ (эти программы направлены, в том числе, и на решение задач финансового оздоровления и выхода из банкротного состояния) для предприятий микроэлектроники связан с необходимостью учета значительной части специфических факторов, отличающих эти предприятия от основной массы промышленных предприятий. Учет этих факторов предопределяет использование аппарата системного анализа, ряд элементов которого должен быть адаптирован к особенностям производства. Удобнее всего это иллюстрируется с помощью инструментария экономико-математического моделирования – некоторой совокупности (системы) экономико-математических моделей, оптимизирующих параметры инновационного развития как совокупности предприятий (отраслей, госкомпаний), так и отдельных предприятий.

Под методом планирования понимают конкретный способ, технический прием, с помощью которого решается какая-либо проблема планирования, рассчитываются числовые значения показателей прогнозов, программ и планов. В теории и практике плановой деятельности за прошедшие годы накоплен значительный набор различных методов разработки прогнозов и планов.

К формализованным методам относятся методы экстраполяции и методы экономико-математического моделирования. Они базируются на математической теории.

Классифицировать экономико-математические модели можно по различным основаниям.

1. По целевому назначению модели можно делить на:

Теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее общих свойств и закономерностей развития экономических процессов;

Прикладные, используемые для решения конкретных задач.

2. По уровням исследуемых экономических процессов:

Производственно-технологические;

Социально-экономические.

3. По характеру отражения причинно-следственных связей:

Детерминированные;

Недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие фактор неопределённости.

4. По способу отражения фактора времени:

Статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени);

Динамические, характеризующие изменения процессов во времени.

5. По форме математических зависимостей:

Линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего получили большое распространение;

Нелинейные.

6. По степени детализации (степени огрубления структуры):

Агрегированные («макромодели»);

Детализированные («микромодели»).

На рис. 1 экономико-математические методы представлены в виде некоторых укрупненных группировок.

Рис. 1. Важнейшие области применения основных классов ЭММ.

2. Дискретное программирование представленно двумя классами методов: локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, например, метод ветвей и границ.

3. Математическая статистика используется для корреляционного, регресионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.

8. Стохастическое программирование . Здесь исследуемые параметры являются случайными величинами.

9. Нелинейное программирование относится к наименее изученному, применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому направлению.

10. Теория графов - направление математики, где на основе определенной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики .

Экономико-математическая модель в оперативно-производственном планировании предприятия микроэлектроники, осуществляющего научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы и имеющего опытное производство, строится с учетом следующих условий (наряду с вышеназванным):

1. Две основные сферы деятельности – НИОКР и производство продукции.

2. Производство продукции для ГОЗ (в т. ч. в рамках государственных экспортных контрактов).

3. Предопределенные номенклатура и тематика производимых НИОКР и продукции в рамках ГОЗ.

5. Необходимость обновления и модернизация мобилизационных мощностей.

6. Регламентированное ценообразование на НИОКР и продукцию по ГОЗ, не соответствующее реальным издержкам на НИОКР и производство.

7. Необходимость осуществления инвестиционных проектов и программ предприятия.

В предлагаемой модели представлены организационно-экономические, инновационные, инвестиционные и финансовые процессы, поэтому для базового года задается информация о технико-экономическом, финансовом состоянии, существующей технологии производства, программа развития. Структура входной и выходной (искомой) информации для модели приводится на рис. 2.

Рис. 2. Структура экономико-математической модели при оперативно-производственном планировании.

В общем виде экономико-математическая модель предприятия сводится к следующему.

Производственный блок. Пусть предприятие в каждом году программного периода выпускает продукцию по ГОЗ и в рамках экспортных контрактов, выполняет НИОКР в определенных объемах. Заданы базовые цены на все виды продукции и стоимости НИОКР, прогнозные индексы изменения этих цен и стоимости. Кроме того, задается объем производства гражданской продукции. Тогда в каждом году объемы выполненных работ в стоимостном выражении будут равны сумме объемов производства всех видов продукции и выполненных НИОКР, умноженных на соответствующие цены и индексы их изменения.

В принципе, при существующем порядке ценообразовании на ГОЗ, когда головная организация назначает цену на комплектующие, исходя из стоимости контракта с организацией верхнего уровня без учета особенностей и издержек предприятия, выпускающего комплектующие, у последнего возникает желание (в аналитических интересах) определения «справедливой» цены на свою продукцию. В этом случае либо индекс, либо сама цена на продукцию каждого вида может выступать в модели в виде искомой переменной.

То же самое можно сказать и для НИОКР. Цена же продукции, производимая в рамках экспортных контрактов, может меняться в программном периоде под воздействием рыночных факторов и также может представляться в виде искомой переменной. Искомой переменной может быть и объем производимой продукции. В этом случае совокупный объем выполненных работ в рублях может выступать как критериальный показатель, величину которого можно максимизировать в оптимизационных расчетах.

В качестве представителей основной номенклатуры работ можно отбирать изделия или виды НИОКР по наибольшим объемам производства (ограничение количества изделий связано с проблемой размерности задачи, при относительно небольшой номенклатуре видов работ можно рассматривать в виде искомых переменных объемы производства всех изделий). В данном случае объемы производства для выделенной части номенклатуры рассматриваются как искомые переменные, значения которых могут отыскиваться в заданных пределах, например, трудоемкости изготовления, пропускной способности оборудования и др.

В производственном блоке модели предусмотрены расчеты экономических показателей затрат на выполнение работ для каждого года программного периода - как по каждому выделенному изделию по статьям затрат, так и суммарные затраты на весь объем работ по элементам затрат:

Прямые затраты, связанные с выполнением работ по видам в базовом году и в целом по всему объему работ (смета затрат на производство). Прямые затраты можно считать по видам затрат на: топливо, материалы, заработную плату (с начислениями), энергию на технологические цели и др. С учетом индексов изменения стоимости прямые затраты рассчитываются для всех лет программного периода;

Накладные расходы (с учетом индексов изменения по годам программного периода) и амортизация основного капитала.

Производственный блок также взаимодействует с инвестиционным блоком через расчет эффективности мероприятий инвестиционной программы, связанных, например, с выпуском продукции и с экономией накладных расходов. В каждом году программного периода полученный (прогнозируемый) эффект от реализации инновационных мероприятий по вариантам в рублях вычитается из полной себестоимости выполненных работ.

В частности, рост эффекта при увеличении мощностей может выразиться через дополнительный выпуск продукции. В этом случае он рассчитывается как сумма эффектов по накладным расходам и другим затратам в текущем году по всем вариантам инновационных мероприятий, умноженных на некую целочисленную перемену (1 или 0), отражающую реализацию или не реализацию инновационного мероприятия (варианта) и эффектов, связанных с выпуском продукции, по которой изменились прямые (переменные) затраты.

В модель общего вида могут быть введены ограничения на использование материальных (в стоимостном выражении) и энергетических ресурсов, например, для оценки мероприятий по снижению материалоемкости производства и энергосбережению.

Следует отметить, что все удельные показатели электропотребления по видам работ могут измениться в результате либо реализации предусмотренных в инвестиционной программе специальных мероприятий по электросбережению, либо в результате реализации технологических мероприятий инновационной программы, либо в результат реализации нововведений, организационно-технических мероприятий, направленных на электросбережение и требующих денежных затрат. Поэтому в финансовом блоке для последних в составе совокупных затрат следует предусмотреть соответствующие затраты на электросбережение.

Аналогичные условия записываются и для тепловой энергии. В модели можно предусмотреть ограничения и по отдельным видам материалов.

Инвестиционный блок. Подавляющее большинство предприятий микроэлектроники нуждается в модернизации и обновлении своего производства, стабилизации финансового состояния, только после решения этих задач можно будет говорить о полноценном инновационном развитии.

В инвестиционном блоке модели можно предусмотреть в программном периоде движение основных (производственных и непроизводственных) средств предприятия. Ввод основных средств осуществляется за счет реализации мероприятий Инвестиционной программы, а среднее ежегодное физическое выбытие стоимости основных средств определяется по доле от общей стоимости.

Значения выходных показателей инвестиционного блока связаны с другими блоками модели: с финансовым – через показатель инвестиционных затрат на руб. выполненных работ, включенного в состав совокупных затрат на развитие предприятия и через показатель «основные средства» (без амортизации), используемый в бухгалтерском балансе предприятия; с бюджетным – через ограничение на общую сумму инвестиций на реализацию Инновационной программы.

Финансовый блок. В процессе оптимизационных расчетов также считаются и все финансовые показатели: результирующие показатели – выручка, прибыль; показатели движения денежных средств; бухгалтерский баланс. В этом блоке рассчитываются совокупные затраты предприятия на хозяйственную деятельность.

На суммарную величину совокупных затрат можно ставить условие не превышения заданной величины, например, сложившейся в предыдущие годы:

Если совокупные затраты выступают в качестве критериального показателя, то критериальная функция задачи оптимизации должна стремиться к минимуму.

Использование совокупных затрат, выступающих как оттоки денежных средств, дает возможность использовать для оценки экономической эффективности функционирования предприятия метод дисконтированного денежного дохода (ЧДД). Как известно он базируется на моделировании и анализе потоков денежных средств (ЧДП), образуемых предстоящими затратами и получаемыми при этом результатами. В виде притоков – результатов – могут выступать объемы выполненных работ или полная выручка предприятия. Для оптимизационных целей показатель ЧДД должен стремиться к максимуму.

В аналитическом блоке рассчитываются показатели платежеспособности и финансовой устойчивости предприятия. В аналитических целях в этом блоке может присутствовать условие достижения положительного или нормативного значения какого-либо показателя в определенном году, например, коэффициента обеспеченности собственными средствами.

Таким образом, реализацию описанной модели можно представить как оптимизацию технико-экономического и финансового оздоровления предприятия в процессе реализации его инновационной программы. Результаты решения задачи по модели предприятия передаются на отраслевой уровень, реализация модели которого корректирует основные параметры развития отрасли. На основании оптимизированной номенклатуры и объемов работ, полученных в модели предприятия, может решаться задача оптимизации соотношения НИОКР и производства.

Таким образом, под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического процесса и объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.

Применение экономико-математических методов позволяет существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный эффект без вовлечения в производство дополнительных ресурсов.

Литература

1. / А.В. Щепкин. М.: ИПУ РАН, 2007. - 80 с.

2. Экономико-математические методы и модели. Линейное программирование Алесинская Т.В., Сербин В.Д., Катаев А.В. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. 79 с.

3. Экономико-математические модели управления производством Бурков В.Н., Джавахадзе Г.С., М.: ИПУ РАН. 1996. - 69 с.

4. Внутрифирменное управление (модели и методы) / А.В. Щепкин. М.: ИПУ РАН, 2001. - 80 с.

МЕТОДЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. ПРЕДМЕТ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Принцип аналогии в моделировании, общее понятие модели

Моделирование основывается на принципе аналогии (подобия, сходства) между двумя объектами или явлениями, имеющими зачастую качественно различную природу. В этом случае один из объектов рассматривается как оригинал, а второй - как его модель, копия. Наиболее существенным сходством между оригиналом и его моделью является сходство их поведения при определенных условиях. Моделирование используется как способ исследования, изучения сложных систем и явлений.

При изучении методом аналогии непосредственному исследованию всегда подвергается одна система, а вывод делается для другой. Система, которая исследуется непосредственно, является отображением или моделью изучаемой системы, оригинала.

Модель (лат. modulus) - мера, мерило, образец, норма. В математике существует теория моделей, в которой под моделью понимается произвольное множество с заданным на нем набором свойств и отношений. Модель представляет собой отображение каким-либо способом наиболее существенных характеристик, процессов и взаимосвязей реальных систем, а под моделированием понимается воспроизведение или имитирование какой-либо существующей системы на специально построенном аналоге или модели.

Под моделированием понимается исследование объектов познания не непосредственно, а косвенным путем, с помощью анализа некоторых других вспомогательных объектов - моделей.

Все экономические модели можно в общем смысле разбить на два класса:

Модели позитивного анализа - для познания свойств реальных или гипотетических экономических систем. Значение их параметров невозможно оценить по эмпирическим данным;

Модели нормативного анализа - для прогнозирования или принятия управляющих решений. Их параметры можно оценить по опытным данным.

Объектом моделирования является зафиксированный или по крайней мере наблюдаемый процесс развития экономического объекта во времени.

Экономико-математические модели

Для более глубокого исследования и изучения сложных систем используется математическое моделирование, под которым понимается описание или представление наиболее важных причинных и функциональных взаимосвязей и зависимостей, существующих в реальной действительности, в математической форме.

Математическая модель имеет другую по сравнению с реальным объектом природу и представляет собой уравнение или систему уравнений и неравенств, описывающую взаимосвязи, происходящие в оригинале.

Математическое моделирование получило широкое распространение в исследовании экономических систем. Это обусловлено тем, что экономические системы характеризуются сложными количественными взаимозависимостями, которые можно выразить как взаимосвязь множества переменных и которые хорошо поддаются математическому описанию в виде уравнений и неравенств. Используется оно как средство изучения, как инструмент познания экономических явлений. Анализируя уравнения и неравенства, которые описывают количественные взаимосвязи данной системы, можно анализировать и саму экономическую систему.

Следовательно, под экономико-математической моделью понимается описание количественных взаимосвязей и взаимозависимостей экономических систем или процессов в математической форме.

Экономические системы характеризуются огромным количеством взаимосвязей, детальный учет которых привел бы к очень громоздким и практически неиспользуемым моделям или системе моделей. Важно включить в модель факторы, оказывающие основное влияние на производство, и не менее важно опускать те из них, которые не оказывают на него существенного влияния. Таким образом, экономико-математическая модель характеризует наиболее важные свойства конкретных экономических систем, абстрагируясь от деталей и частностей.

По определению академика, экономико-математическая модель есть концентрированное выражение существующих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме. Модель выступает как аналог исследуемого процесса, так как она отображает наиболее существенные и основные связи моделируемого объекта.

Математическое моделирование открыло широкие возможности для изучения экономических взаимосвязей и закономерностей. С появлением математического моделирования и ЭВМ стало возможным экспериментирование и в экономике, но не на реальных объектах, а на математических моделях экономических систем и явлений. Для этого необходимо представить экономический процесс в виде экономико-математической задачи и решить ее на ЭВМ. Причем, изменяя условия, можно проанализировать множество вариантов и выбрать наиболее выгодный из них. Это открывает новые возможности, как в проверке различных гипотез, предположений, так и в совершенствовании реального процесса воспроизводства.

Математическое моделирование предполагает предварительный качественный анализ условий, в которых будут проявляться количественные взаимосвязи моделируемого объекта. Вид и характер математической модели определяются взаимосвязями и взаимозависимостями экономических систем.

Математическая модель экономического объекта, экономико-математическая модель - совокупность математических уравнений и неравенств, описывающая функционирование экономического объекта с заданной степенью детализации. Структурными элементами экономико-математической модели являются технико-экономические показатели деятельности объекта, представленные в виде известных (заданных) и неизвестных (переменных) величин.

Основными переменными, с помощью которых описывается экономическая система, являются объемы различных товаров и услуг, которые производятся и потребляются, прибавляются и вычитаются из имеющихся запасов, продаются и покупаются, а также цены , по которым покупаются и продаются товары и услуги.

Для построения уравнений нужны данные: имеющееся количество природных и людских ресурсов, уровень технических знаний, природа потребительских предпочтений. Из этих данных и переменных формируются условия функционирования некоторого экономического объекта, т. е. система уравнений (или неравенств).

Сложность природы экономических объектов состоит в том, что основные переменные (объемы товаров и цены) хотя и существуют объективно, но зависят от поведения отдельных людей, индивидуумов, корпоративного поведения групп взаимосвязанных людей, совокупного поведения больших масс людей, а также поведения государственных и политических деятелей. Аналитическое описание их поведения - наиболее сложная часть в формализации развития экономических систем. Но нельзя также забывать, что одно из основных понятий поведенческой деятельности - выбор, выбор одного из многих вариантов поведения (стратегий). Выбор всегда делает индивидуум, основываясь на своих соображениях, предпочтениях, руководствуясь той или иной целевой установкой - экономической выгодой.

Экономико-математическая модель должна включать формализованное описание критерия выбора, т. е. экономической цели: целевую функцию.

Делая свой выбор, люди всегда учитывают не только существующую экономическую ситуацию, но и ее будущие изменения, т. е. изменившиеся ожидания. Следовательно, выбор осуществляется в динамике.

Исследуя поведение отдельного индивидуума на рынке товаров, можно сделать вывод о поведении населения (индивидуальный и массовый спрос) или групп взаимосвязанных людей (организаций, фирм), чтобы управлять спросом на товары и услуги. Итак, если основные задачи экономической теории - объяснить текущее состояние и предсказать будущее развитие экономических систем (объектов), то основная задача математической экономики - дать для этого необходимый аналитический аппарат.

1.2. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

Первые задачи, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, были поставлены в древности. Упоминания о максимумах и минимумах встречаются в трудах Евклида, Аполлония, Архимеда. Потребность решать экстремальные проблемы способствовала созданию математического анализа и вариационного исчисления. В XVII и XVIII веках были открыты вариационные принципы в оптике и механике, вариационное исчисление стало языком экономики и естествознания.

В становлении современных методов оптимизации сыграли определенную роль ученые Куисни (1759) и Л. Вальрас (1874), предложившие первые элементарные модели математического программирования. Фон Нейман (1937) и (1939) разработали экономические модели оптимизации. Математические основы линейного программирования разрабатывались
М. Жорданом (1873), Г. Мынковским (1896) и Ю. Фаркашем (1903). Серьезный вклад в| динамическое программирование внес (1954), а также
(1920), разработавший элементы теории массового обслуживания. Важную роль в теории оптимизации сыграл фундаментальный труд Г. Вагнера (1969), который является одним из ведущих специалистов по исследованию операций.

Оптимизация имеет важное значение в экономических исследованиях.

Изучение экономико-математических моделей начнем с микроэкономического уровня, на котором функционируют предприятия (фирмы), т. е. товаропроизводители, а также домашние хозяйства, т. е. потребители.

Домашнее хозяйство - один или несколько человек, объединенных общим доходом , сообща планирующие его расходование на приобретение товаров и услуг.

Предприятие (фирма) - группа лиц, организующих совместную деятельность для производства товаров и услуг и реализации их домашним хозяйствам и другим фирмам.

Основная экономическая цель потребителя - достичь максимального уровня удовлетворения при расходовании дохода, выбрав среди доступных ему вариантов поведения один - наилучший.

Основная экономическая цель производителя - достичь максимума прибыли при выборе наилучшей производственной программы.

При планировании производственной деятельности на любом уровне управления предполагаются заданными те производственные ресурсы, которыми мы располагаем и которыми можем распоряжаться. Известными являются и нормативы затрат производственных ресурсов при различных способах производства. Неизвестные (переменные) - количество производимых товаров и услуг, которое можно произвести в заданный промежуток времени, чтобы достичь экономического эффекта (цели производства).

aij - норма затрат /-го вида ресурса на единицу j-го вида деятельности;

bi - объем имеющегося ресурса i-го вида.

Дадим определения основных структурных элементов задачи линейного программирования.

Итак, задача линейного программирования (1.5, 1.6) в экономике называется линейной моделью оптимального планирования. Целевая функция f - критерий оптимальности модели. Решение - план (производственная программа, способ функционирования). Множество решений системы линейных неравенств (1.6) без учета целевой функции - множество допустимых решений (в математике) и совокупность допустимых планов (в экономике). Точка оптимума (n-мерный вектор , при котором достигается f(х)), т. е. оптимальное решение задачи линейного программирования (1.5, 1.6), в экономике называется оптимальным планом.

Повторим: задача линейного программирования состоит в отыскании значений п переменных x1, х2,…,хn доставляющих экстремум функции f(x1x2,..,хn) при условиях (1.6), представляющих собой систему линейных нестрогих неравенств, которые в случае необходимости могут быть превращены в равенства посредством присоединения искусственных переменных xn+i (i =1,2,.., m). Обычно добавляются условия неотрицательности переменных x j ≥ 0 (j = 1, 2,.., n).

Поскольку целевая функция линейна, она не имеет критических точек. Следовательно, все точки оптимумов являются граничными. Допустимое множество выпукло, так как все ограничения линейны. Линейная целевая функция одновременно и выпукла, и вогнута, поэтому все максимумы и минимумы являются глобальными. Если решение задачи линейного программирования существует, то в принципе оно может быть точно найдено (рассчитано). Универсальный метод решения общей задачи линейного программирования (симплекс-метод) введен Дж. Данцигом. Для других классов задач оптимизации нет хороших конечных численных методов, поэтому для экономистов-практиков, заинтересованных в непосредственном численном решении задач оптимизации, теория ЛП очень важна. Если исходные модели могут быть приближены к линейным с приемлемой точностью, то симплекс-метод дает возможность получить численное решение для последующего анализа.

Свойства решений задачи линейного программирования во многом зависят от особенностей области определения, заданной условиями (1.6). Для изучения этих свойств введем основные понятия.

1. Множество точек {х}, х = (х1 х2,…, х n ), удовлетворяющих системе (1.6), есть область определения задачи линейного программирования. Когда
п = 2, область определения - многоугольник на плоскости, в общем случае - n - мерный многогранник.

2. Функция f(x) - целевая функция (плоскость при п = 2, в общем случае - гиперплоскость); она достигает экстремума в одной или нескольких допустимых точках области определения. Эти точки называются оптимальным решением.

3. Область определения называется выпуклой, если вместе с двумя любыми точками она содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

4. Область определения является замкнутой (т. е. содержащей собственную границу), так как в выражении (1.6) все неравенства нестрогие.

Точка х , принадлежащая выпуклой области, называется крайней, если в данной области нет двух таких точек х1 и х2 , что х находится на отрезке между х1 и х2 .

Крайняя точка не совпадает с граничной.

Область определения, заданная условиями (1.6), - выпуклый замкнутый многогранник, вершины которого - крайние точки, число их конечно.

5. Если не существует точки х = (х1 х2,.., х n ), удовлетворяющей системе (1.6), тогда область определения задачи линейного программирования - пустое множество, а система (1.6) называется несовместной. Экстремум целевой функции не существует.

6. Экстремум целевой функции в задаче линейного программирования (если он существует) всегда является абсолютным (глобальным), т. е. единственным.

7. Множество экстремальных точек х* (точек, в которых f = extr) в задаче линейного программирования (если оно непусто) всегда содержит, хотя бы одну крайнюю точку многогранника (области определения).

Перечисленные свойства задач линейного программирования легко можно проиллюстрировать графически в двумерном случае.

На рис. 1.3 точки О, Е1 Е2 Е3, Е4 - экстремальные. Оптимум задачи лежит в одной из них либо на множестве экстремальных точек (отрезок в двумерном случае).

Из свойств 1-7 следует, что всякая процедура, предусматривающая направленный перебор крайних точек области определения задачи (1.5, 1.6), должна привести к отысканию среди них точки экстремума х *, т. е. оптимального решения. Эта идея отражена в симплекс-методе. Он позволяет найти крайнюю точку области определения и оценить, является ли она точкой экстремума целевой функции f . Если нет, то обеспечивается переход к соседней крайней точке, где значение f больше (меньше) предыдущего. Через конечное число шагов точка экстремума либо оказывается найденной, либо признается несуществующей (система условий (1.6) несовместна).

Рис. 1.3. Геометрическая схема решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод часто называют методом последовательного улучшения плана. Для обоснования алгоритма расчетов симплекс-метода будем рассматривать каноническую задачу линейного программирования (простейшую): min сх при Ах = b , х ≥ 0, где А - матрица; b , с, х - векторы.

Пусть известна угловая (крайняя) точка х = (х1 х2,.., хп) - опорный план.

Ненулевые значения компонент хj образуют вектор, который называется базисом. Для невырожденных задач базис содержит т компонент (т < п). Итерационный шаг метода состоит в переходе от угловой точки х к угловой точке х", при котором значение целевой функции убывает: (сх") < (сх).

Метод реализован в виде стандартных пакетов прикладных программ на всех массовых моделях ЭВМ и широко используется при решении практических задач экономического анализа и планирования.

Перечислим другие классы задач оптимизации, для которых существуют эффективные (не всегда конечные) методы решения .

1. Квадратичное программирование - задача минимизации положительно определенной квадратичной формы при линейных ограничениях.

2. Целочисленное программирование - задача ЛП, в которой все или некоторые переменные могут принимать только дискретные значения.

3. Выпуклое программирование - задача максимизации вогнутых целевых функций на выпуклых множествах.

4. Стохастическое программирование - задача Л П, в которой матрица А и вектор b содержат случайные параметры с известным законом распределения либо сами ограничения носят вероятностный характер.

5. Блочная задача линейного программирования большой
размерности - задача ЛП, в которой матрица А имеет вид шахматной доски со связующими переменными и (или) ограничениями, а общая размерность превышает (500*500).

6. Динамическое программирование - система методов, позволяющих решать многоэтапные задачи планирования.

7. Многокритериальная оптимизация - с несколькими целевыми функциями.

1.5. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для экономического анализа весьма важным является анализ двойственной задачи ЛП, так как принципы двойственности проясняют природу цен. Цена - самое фундаментальное понятие экономической теории.

Пусть стандартная задача ЛП в векторно-матричных обозначениях записывается в виде: найти

х = (х1 х2,…, хп)

чтобы получить

max cx (1.7)

при ограничениях

Ax ≤ b , x ≥0. (1.8)

Где с - n-мерная вектор-строка;

b - m-мерный вектор-столбец;

А – матрица m*n;

m – произвольное число, m < n.

Двойственной по отношению к исходной задаче (1.7, 1.8) называется задача вида: найти

y (y 1 , y 2 ,…, ym ) (1.9)

чтобы обеспечить

min yb

при условиях

yA ≥ c , y ≥ 0. (1.10)

Здесь А, b , с имеют тот же смысл, что в задаче (1.7, 1.8).

Тогда исходная задача является прямой. Двойственная к двойственной задаче - исходная. Двойственность - формальное математическое соотношение. Двойственная задача по построению всегда существует. Если прямая задача выражает функционирование реального экономического объекта, то и двойственная имеет экономическую интерпретацию. Для анализа этого вопроса сформулируем теоремы.

1-я теорема двойственности (теорема существования). Допустимый вектор прямой задачи х* оптимален тогда и только тогда, когда существует допустимый вектор двойственной задачи у* , такой, что сх* = y *b. В этом случае у* - оптимальный вектор двойственной задачи.

Иными словами, если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем максимальное значение целевой функции исходной задачи и минимальное значение целевой функции двойственной задачи численно равны. (Если же одна из задач не имеет оптимального решения, то система ограничений двойственной задачи противоречива.)

2-я теорема двойственности (теорема равновесия).

1. Пусть векторы х* и у* допустимы в прямой и двойственных задачах соответственно. Они оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а) у* i ≥ 0, но у* i = 0, если https://pandia.ru/text/79/131/images/image011.gif" width="114" height="50">, j=1,…,n.

2.Оптимальная точка всегда будет такова, что число ненулевых переменных в решении каждой задачи не превосходит числа функциональных ограничений задачи.

Иными словами, если в оптимальном плане исходной задачи значение какой-либо переменной строго больше нуля, то соответствующее ограничение двойственной задачи при подстановке в него оптимального плана становится равенством.

2-я теорема двойственности дает возможность экономической интерпретации двойственной задачи, что иллюстрирует следующий пример.

Задана линейная модель производства, в которой выпускается п продуктов [ x j ] и затрачивается т факторов [ bi ], [а ij ] - постоянные коэффициенты затрат.

С другой стороны, заданы векторы цен и вектор ресурсов , ограничивающий использование факторов.

По 1-й теореме двойственности имеем рх* = y*b (стоимость продукции равна стоимости затраченных факторов. Следовательно, у* - вектор цен на факторы).

Двойственные переменные часто называются условными оценками (двойственными оценками, объективно обусловленными оценками). В данном случае они дают ответ на вопрос: какова наименьшая стоимость набора факторов b , дающая возможность обращения факторов в продукты и продажи продуктов по ценам р. Если оценка затрат, необходимых для производства продукта, меньше цены продукта, то более выгодно произвести и продать продукт, чем продать эти факторы. При оптимальных значениях х* и у* фирме безразлично, выпускать ли продукты, чтобы продать по ценам р, или продать ресурсы по ценами y*, так как y* b = р х* .

По 2-й теореме двойственности имеем:

а) всякий фактор, который не может быть использован при производстве оптимального набора продуктов, получает нулевую оценку (т. е. избыточно предлагаемые факторы не представляют ценности);

б) продукт, издержки на производство которого превосходят его цену (когда факторы оцениваются в оптимальных условных оценках), не будет производиться при оптимальном производстве. Поскольку эти соотношения соответствуют состоянию равновесия конкурентной экономики, 2-я теорема получила название теоремы равновесия.

Прямая задача Двойственная задача

m ax px min yb

Ах ≤ Ь, х ≥0 y А ≥ р, у ≥ 0

Запись прямой и двойственной задач в развернутой форме приведена ниже.

Задача I (исходная)

Задача II (двойственная)

F = c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn ® max

при ограничениях

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n xn ≤ b1

a21 x1+ a 22 x2 +… + a 2 n xn ≤ b2

……………………………….

am1 x1 + a m2 x2 +… + a mn xn ≤ bm

и условии неотрицательности

x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0,…, xn ≥ 0.

Составить такой план выпуска продукции Х= (x 1 , x 2 ,…, xn ), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов

Z = b1 y1 + b2 y2 + …+ bn yn ® min

при ограничениях

a 11 y 1 + a 21 y 2 +… + a m1 ym ≥ p1

a12 y1 + a 22 y2 +… + a m2 ym ≥ p2

……………………………….

a1n y1 + a 2n y2 +… + a mn ym ≥ pm

и условии неотрицательности

y 1 ≥ 0 , y 2 ≥ 0,…, ym ≥ 0.

Найти такой набор цен (оценок) ресурсов

У = (у1 у2 ,..., ут), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Пусть ν * - оптимальное значение целевой функции, у* - оптимальный вектор двойственной задачи. Заменим b на b+ https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* оптимального значения целевой функции определяется соотношением: v* = у* https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* = yi * b i .