Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

Р р =Р н ×n

n – коэффициент перегрузки.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

где R p и R сж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ т (в пластичных материалах), и до предела прочности σ n ч (в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ т.

Для прямоугольного сечения:

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

- уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: - Формула Журавского

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение :

2.Круглое сечение .

3. Двутавровое сечение .

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

[σ сж ]

Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ сж ] и [σ р ] в формулы ставятся R c ж и R p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где R срез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ 1 и σ 2 по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ 1 - σ 2 ≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Из эпюр видно:

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Примечание:

a) В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

b) В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.

Чистый изгиб в одной из главных плоскостей
Сеченые с двумя осями симметрии. Пусть в сечении действует изгибающий момент Mx от нагрузки (рис. 2.2), который возрастает до предельного значения. При этом сечение будет последовательно находиться в упругом, упруго пластическом и пластическом состояниях.
При упругой работе напряжения σ и относительные деформации ε в сечении распределены линейно (рис. 2.2, а). Это состояние ограничено достижением предела текучести σfl в крайних волокнах сечения. Соответствующий изгибающий момент

Назовем его предельным упругим изгибающим моментом.
При достижении предела текучести в крайних волокнах несущая способность сечения еще не исчерпана. При дальнейшем возрастании изгибающего момента относительные деформации в сечении увеличиваются, и их эпюра остается линейной. Напряжения при этом увеличиваются в тех волокнах, в которых они еще не достигали предела текучести σfl. В зонах текучести напряжения сохраняют постоянное значение σfl (рис. 2.2, b). Изгибающий момент в таком упругопластическом состоянии с относительной деформацией ε1 на крайнем волокне сечения равен

Дальнейшая стадия упругопластической работы сечения показана на рис. 2.2, с. В этом состоянии упругая часть относительно мала и сосредоточена возле нейтральной оси. Для вычисления изгибающего момента приближенно принимается прямоугольное распределение напряжений в растянутой и сжатой частях сечения. В этом случае упругая часть сечения становится равной нулю (Wel=0).
Изгибающий момент, соответствующий полной текучести сечения, называется предельным пластическим изгибающим моментом и определяется по формуле

Формулы для вычисления пластического момента сопротивления Z для некоторых характерных сечений и значения коэффициентов формы сечения при изгибе f=Z/W приведены в табл. 2.1.

Предельный пластический изгибающий момент Mpl характеризует предельную пластическую несущую способность сечений при изгибе.

Оценим погрешность, которая возникает в результате допущения о распределении напряжений в виде двух прямоугольников. Для этого сделаем анализ теоретического выражения для упруго пластического момента в случае, когда относительная деформация в крайнем волокне ε1 достаточно велика (например, равна относительной деформации упрочнения реальной стали). Рассматриваемое распределение напряжений в упругопластическом состоянии (рис. 2.3, а), представим двумя эпюрами (рис. 2.3, b, с). Тогда изгибающий момент Мεx можно записать в виде


Для прямоугольного сечения имеем

Для двутаврового сечения в соответствии с рис. 2.2,b находим

Из подобия треугольников для деформаций ε получим зависимости

Поскольку предел текучести является случайной переменной величиной, относительная деформация εfl для определенной стали может принимать разные значения. В результате статистического анализа предела текучести в работах, получено, что большая часть значений σfl находится в следующих интервалах:
- для стали класса 37
230Н/мм2 ≤ σfl ≤ 330 Н/мм2;
- для стали класса 52
330Н/мм2 ≤ σfl ≤ 430Н/мм2.
При этом соответствующие относительные деформации εfl равны:
для стали класса 37
0,0011 ≤ εfl ≤ 0,0016;
для стали класса 52
0,0016 ≤ εfl ≤ 0,0020.
Значение относительной деформации ε1 и ε1,s в крайних волокнах сечения и стенки принимаем ε1=ε1,s=0,012, что примерно соответствует деформации начала упрочнения стали при испытании ее на растяжение.
С учетом формул (2.21) получим:
- для стали класса 37
0,046 ≤ Уel/h ≤ 0,067;
- для стали класса 52
0,067 ≤ Уel/h ≤ 0,083.
Отношение Ml,x/Мpl,x в уравнении (2.17) дня прямоугольного сечения изменяется в пределах:
- для стали класса 37
0,0028 ≤ Мl,x/Mpl,x ≤ 0,0060;
- для стали класса 52
0,0060 ≤ Ml,x/Mpl,x ≤ 0,0092.
Для двутаврового сечения эти значения зависят не только от класса стали, но и от размеров поперечного сечения, которые могут быть охарактеризованы обобщенным параметром ρ, примерно равным отношению площади пояса к площади стенки. Для часто применяемых размеров сечений значения ρ даны на рис. 2.4.

Полученные результаты показывают, что для рассмотренных поперечных сечений значения отношений Ml,x/Mpl,x в уравнении (2.17) значительно меньше 1,0 и их можно не учитывать. Имеются сечения, для которых численные значения Ml,x/Mpl,x не являются столь малыми, например, двутавровое сечение, нагруженное перпендикулярно стенке. Если в расчете учитывать площадь стенки, сосредоточенную возле нейтральной оси, то в принятой эпюре напряжений появляется скачок. В связи с этим более правильно учитывать в расчете только два пояса, т.е. прямоугольное сечение.
В заключение необходимо отметить, что если предельный пластический изгибающий момент Mpl,x определяют в предположении распределения напряжений по двум прямоугольникам в сжатой и растянутой областях сечения (см. рис. 2.3, b), то несущая способность оказывается преувеличенной незначительно. С другой стороны, в этом случае можно принимать допущение о малых деформациях и не учитывать эффект упрочнения материала.
Полностью пластифицированное сечение не может воспринимать дальнейшее увеличение изгибающего момента и при постоянной предельной нагрузке поворачивается, т.е. ведет себя как шарнир. Поэтому такое состояние сечения также называют пластическим шарниром.
Пластический шарнир качественно отличается от обычного шарнира. Необходимо отметить два основных отличия:
- обычный шарнир не способен воспринимать изгибающий момент, а в пластическом шарнире изгибающий момент равен Mpl;
- обычный шарнир допускает поворот в двух направлениях, а пластический шарнир только в направлении действующего момента Mpl. Приуменьшении изгибающего момента упруго пластический материал снова начинает работать как упругое тело.
В изложенных выводах учитывалось только действие изгибающих моментов. Наряду с этим должно быть выполнено и условие равновесия продольных сил, которое для пластического состояния выражается уравнением

Это условие определяет положение нейтральной оси, дня нахождения которого сечение необходимо разделить на две равновеликие части. Для сечений с двумя осями симметрии нейтральная ось в пластическом состоянии совпадает с центральной осью сечения.
Как уже отмечалось, разгрузка происходит упруго, что определенным образом влияет на напряженное состояние сечения.
В дальнейшем мы не будем исследовать случаи разгрузки в упругопластическом состоянии, а остановимся на анализе полной разгрузки пластифицированного сечения.
Если при нагружении предельный пластический изгибающей момент равен Mpl,x=σflZx, то полная разгрузка сечения произойдет при действии изгибающего момента противоположного знака -Mpl,x=σWx (рис. 25, а, b), откуда

Из формулы (2.24) следует, что условное напряжение при разгрузке можно определить по формуле

Остаточные напряжения в крайних волокнах сечения при этом равны

Распределение остаточных напряжений по высоте сечения приведено на рис. 2.5, с и d. Таким образом, напряжения в крайних волокнах сечения изменяют знак, а у нейтральной оси остаточные напряжения равны пределу текучести σfl.
Из уравнения (2.26) следует, что принятое предположение об упругой разгрузке выполняется при fx=Zx/Wx ≤ 2,0; в противном случае было бы σ1≥σfl. Сечения стальных конструкций в большинстве случаев соответствуют указанному значению отношений моментов сопротивления сечения.

Сечение с одной осью симметрии. Пусть ось Y является осью симметрии сечения и изгибающий момент действует в плоскости УZ (рис. 2.6, а). В процессе его увеличения текучесть появляется в первую очередь в нижних, а затем и в верхних волокнах сечения. Процесс развития пластических деформаций зависит от положения центральной оси X.
Условия равновесия для упруго пластического состояния с одной осью симметрии приведены в работах. Здесь рассмотрим только случай полной пластификации сечения (рис. 2.6, b) и его разгрузки (рис. 2.6, с, d).
Условие равновесия нормальных сил

приводит к тому же результату, как и в предыдущем случае, т.е. к формуле, аналогичной (2.23):

Отличием является то, что нейтральная ось X- не совпадает с центральной осью X. Уравнение (2.28) является условием для определения положения нейтральной оси в сечении с одной осью симметрии.
Условие равновесия моментов в сечении имеет вид

Таким образом, пластический момент сопротивления сечения может быть определен как сумма абсолютных значений статических моментов половин площади сечения относительно нейтральной оси:

Разгрузка сечения, в котором образовался пластический шарнир, происходит неупруго. Упругая разгрузка сечения с одной осью симметрии возможна только в том случае, когда сечение находится в определенной стадии упругопластического состояния.
На рис. 2.6 показано распределение напряжений при разгрузке полностью пластифицированного сечения. Если бы разгрузка происходила упруго, распределение напряжений от разгружающего изгибающего момента имело бы вид, показанный на рис. 2.6, с штриховой линией. При этом суммарные напряжения от нагрузки и разгрузки (рис. 2.6, b, с) между центральной осью X и нейтральной X оказались бы большими, чем σfl. Эта область в процессе разгрузки исключена из рассмотрения. В ней действуют только пластические деформации. В результате уменьшения активной площади поперечного сечения должны возрасти напряжения от разгрузки, как это изображено сплошной линией на рис. 2.6, с. Нейтральная ось при разгрузке, совпадающая с центральной осью сечения (точка 1), перемещается в новое положение (точка 3).

Суммарная эпюра остаточных напряжений от нагрузки и условных в результате разгрузки изображена на рис. 2.6, d. Напряжения σl в верхних волокнах не всегда изменяют знак, что определяется положением оси, проходящей через центр тяжести сечения. Если ось расположена близко от верхнего крайнего волокна, то напряжения σl меньше, чем σfl.
Примеры. Приведем примеры вычисления пластических моментов сопротивления сечений Zx или Zy.
Зависимость для определения пластического момента сопротивления дана уравнением (2.30) , в которое входят статические моменты половин площади сечения относительно нейтральной оси. Преобразуем эту формулу. Рассмотрим сечение с одной осью симметрии У (рис. 2.7), для которого X - центральная, а X- - нейтральная оси. Положение нейтральной оси X- определяется из условия (2.28).
Центр тяжести верхней половины площади сечения находится в точке Th, нижней - в точке Td. Пластический момент сопротивления Zх, определяемый уравнением (2.30), согласно рис. 2.7, можно выразить формулой

Поскольку точка T является центром тяжести всего сечения, то расстояние между точками Th и T или Td и T равно r/2. Из этого следует другое определение, которое естественно распространяется и на сечения с двумя осями симметрии. Пластический момент сопротивления сечения равен удвоенному абсолютному значению статического момента половины площади сечения относительно оси X, проходящей через центр тяжести сечения.

Чистый изгиб в одной из главных плоскостей балки неоднородного сечения. Общие решения. Пусть сечения балки состоят из верхнего и нижнего поясов и стенки, которые имеют разные пределы текучести, но одинаковый модуль упругости.
При увеличении изгибающего момента вначале текучесть появляется в крайнем волокне одной части сечения, а затем она распространяется по всему сечению. Место, в котором возникнут первые пластические деформации, зависит от отношения значений пределов текучести и геометрических размеров сечения.
При решении задач не будем заниматься анализом упруго пластического состояния, а рассмотрим только случай полного пластического шарнира.
Поперечное сечение балки и значения пределов текучести стали приведены на рис. 2.10, а. Распределение напряжений в упругом состоянии изображено на рис. 2.10, b, в пластическом шарнире на рис. 2.10, с.
Условие равновесия продольных сил в пластическом шарнире

Его можно записать в виде

Уравнение (2.33) является условием для определения положения нейтральной оси X-.

Условие равновесия изгибающих моментов имеет следующий вид:

Правая часть этого уравнения выражает предельный пластический изгибающий момент, который можно записать следующим образом:

Запишем его в следующем виде:

Часто применяется симметричное сечение F1=F2, в котором оба пояса имеют одинаковый предел текучести σfl,p. Тогда предельный изгибающий момент

В практике обычно проектируют так, что стенка имеет меньший предел текучести, чем пояса. При этом необходимо тщательно проверить стенку на местную устойчивость с учетом влияния поперечных сил на несущую способность. Эти проблемы будут рассмотрены позднее.
По нормам ЧСН 73 1401 для сечений, в которых применены стали одного класса с разными расчетными сопротивлениями (например, сталь класса 37 - пояса толщиной более 25 мм с R=200 Н/мм2 и стенка толщиной до 25 мм с R=210 Н/мм2), не требуется выполнять расчет как для комбинированных сечений. В этом случае расчет проводят как для однородного сечения с меньшим расчетным сопротивлением.
Чистый изгиб в двух главных плоскостях. При косом изгибе в сечении действуют изгибающие моменты Mx и My. В лом случае предельное состояние сечения определяется не каким-либо одним из предельных пластических изгибающих моментов Мpl,x или Mpl,y в отдельности, а кривой взаимодействия между этими предельными изгибающими моментами

Теоретическим решением задачи о косом изгибе занимался А.Р. Ржаницын. Его решение относится к произвольному поперечному сечению и основано на определении кривой центров тяжести половин площадей сечения при изменении направления плоскости изгиба.
Исследованием упругопластического и пластического состояний двутаврового и швеллерного сечений занималась А.И. Стрельбицкая. Приведем ее основные результаты для двутаврового сечения и оценим точность, получаемую при идеализации распределения напряжений в пластическом состоянии.
Зависимости между изгибающими моментами в упругопластическом состоянии. При косом изгибе двутаврового сечения могут иметь место четыре случая распределения напряжений (рис. 2.11). В случаях, показанных на рис. 2.11, а и 5, пластические деформации возникают только в отдельных частях поясов, а в случаях, представленных на рис. 2.11, с и d, в поясах и в стенке.
Целью решения является определение упруго пластических моментов Mε,x и Mε,y. Распределение относительных деформаций и напряжений, показаное на рис. 2.11, b, с, характеризуется значениями относительной деформации крайнего волокна пояса ε=kεfl и размерами а, с, u. C учетом задаваемого параметра k, определяющего превышение относительной деформации крайнего волокна по сравнению с εfl, для решения зада чи остается пять неизвестных.
Теоретическое решение для относительных изгибающих моментов Mε,x/Mpl,x и Мε,у/Mpl,y приведем только для случаев, показанных на рис. 2.11, b и d. Вместе с тем результаты, полученные для всех случаев развития пластических деформаций и нескольких значений k для характерного двутаврового сечения, покажем на графике.
Для случая, когда u>а (рис. 2.11, d), из подобия треугольников для эпюры относительных деформаций получим


После простых преобразований находим

Подобным образом определяем

Из условия равновесия изгибающих моментов Мх=Мε,х и Му=Мε,у пол учим следующие два уравнения:


Для случая, когда u≤а (рис. 2.11,b), выполняется условие (2.40) и для изгибающих моментов имеем

Отношение u/(b/2) выполняет здесь роль параметра. Принимая его значения в интервале для рассматриваемого сечения с характеристикой р=dpbh0/(ds hs2) и заданного значения относительной деформацией kεfl, можем определить значения отношений изгибающих моментов. С помощью полученных таким образом точек можно построить кривую их взаимодействия.
Граница между случаями, когда стенки находятся в упругом и пластическом состояниях, определяется условием u=а. Подставляя u вместо а в уравнение (2.40), получим граничное значение

Если параметр u/(b/2) меньше, чем это значение, то стенка находится в упругом состоянии, если больше - то в пластическом.
Кривые взаимодействия изгибающих моментов Mε,x и Мε,y для сечений с геометрическим параметром p=1,0 для k от 1,0 (упругое состояние) до ∞ (пластический шарнир) приведены на рис. 2.12.

Им соответствуют наибольшие относительные деформации крайнего волокна пояса ε=kεfl, меньшие или равные относительной деформации в начале упрочнения стали при растяжении.
Зависимости между изгибающими моментами в пластическом состоянии. Пластическое состояние соответствует распределению напряжений, показанному на рис. 2.11, d. Определим предельные изгибающие моменты Mpl,x и Мpl,у и установим влияние принятого распределения напряжений на кривые взаимодействия по сравнению с распределением конечных деформаций в упруго пластическом состоянии.
Из условия равновесия изгибающих моментов получим

Первые части этих уравнений, выражающие предельные изгибающие моменты Mpl,x и Мpl,у с учетом параметра p можно записать в виде

Полученные уравнения являются частными случаями уравнений (2.42) и (2.43) при k=∞.
Вычисляя параметр u/(b/2) из первого уравнения (2.48) и подставляя его во второе, получим выражение для предельной кривой взаимодействия изгибающих моментов

Графики этих кривых для разных значений р приведены на рис. 2.13.
Оценку влияния принятого распределения напряжений, показанного на рис. 2.11, d, на кривые взаимодействия изгибающих моментов Мpl,x и Mpl,y выполним путем сравнения кривой для p=1,0, приведенной на рис. 2.13 и справедливой при k=∞, с кривыми, показанными на рис. 2.12. При k=10,20 и ∞ кривые взаимодействия очень близко расположены одна к другой, а для двух последних значений k они практически сливаются. На этом основании можно сделать вывод, что, если за предельное пластическое состояние сечения принять достижение относительной деформации (10-20) которая соответствует относительной деформации в начале упрочнения наиболее часто применяемых сталей, то для кривой взаимодействия изгибающих моментов с достаточной точностью можно принимать уравнение (2.49), строго справедливое при k=∞.

Подбор сечений, согласно ЧСН 73 1401, при чистом изгибе. Расчеты, согласно нормам ЧСН 73 1401/1966 "Проектирование стальных конструкций" впервые выполнялись на основе метода предельных состояний. При изгибе в одной из главных плоскостей предельный изгибающий момент определялся по формуле

При этом для сечений, в которых изгибающий момент от расчетной нагрузки равен M, должно выполняться условие

Для предотвращения чрезмерных прогибов нормы ограничивали значение пластического момента сопротивления сечения. При этом в расчетах допускалось принимать наибольшее его значение, которое не должно было превышать 1,2 упругого момента сопротивления сечения. При наличии области чистого изгиба на длине, составляющей более 1/5 пролета балки, нормы требовали принимать среднее значение упругого и пластического моментов сопротивлений, однако не более 1,1W.
В пересмотренных нормах ЧСН 73 1401/1976 пластические расчеты существенно усовершенствованы и дополнены. Новые нормы, так же как и старые, требуют проверки только несущей способности конструкций. Чтобы исключить чрезмерные деформации, в нормах введен коэффициент условий работы m=0,95, что снижает вероятность достижения предельного состояния конструкций.
В новых нормах, как и в старых, пластический изгибающий момент определяется из зависимости (2.50). Условие несущей способности сечения при изгибе в одной из главных плоскостей имеет вид

Пластический момент сопротивления Z должен составлять не более 1,5 упругого момента сопротивления сечения W. Если элемент конструкции подвержен действию чистого изгиба на длине балки, составляющей более 1/5 ее пролета, то пластический момент сопротивления сечения не должен превышать 0,5 (Z+W).
Следует отметить, что требование, ограничивающее значение пластического момента сопротивления, может не выполняться, если будет доказано, что пластические деформации не нарушают работу конструкций. В этом случае нормы допускают выполнение более детального расчета.
Для неоднородного двутаврового сечения предельный пластический изгибающий момент относительно оси X определяется по формуле

Уравнение (2.53) применяется при условии

В основе расчета лежит кривая деформирования (рис. 28), представляющая собой зависимость устанавливаемую из опытов на растяжение. конструкционных сталей эта зависимость имеет такой же вид и при сжатии.

Для расчета обычно используют схематизированную диаграмму деформирования, показанную на рис. 29. Первая прямая соответствует упругим деформациям вторая прямая проходит через точки, соответствующие

Рис. 28. Диаграмма деформирования

пределу текучести и пределу прочности . Угол наклона значительно меньше угла а и для расчета вторая прямая иногда представляется горизонтальной линией, как показано на рис. 30 (кривая деформирования без упрочиения).

Наконец, если рассматриваются значительные пластические деформации, то участками кривых, соответствующих упругому деформированию, в практических расчетах можно пренебречь. Тогда схематизированные кривые деформирования имеют вид, показанный на рис. 31

Распределение напряжений изгиба при упругопластических деформациях. Для упрощения задачи рассмотрим стержень прямоугольного сечения и предположим, что кривая деформирования не имеет упрочиения (см. рис. 30).

Рис. 29. Схематизированная кривая деформирования

Рис. 30. Кривая деформирования без упрочнения

Если изгибающий момент таков, что наибольшее напряжение изгиба (рис. 32), то стержень работает в области упругой деформации

При дальнейшем возрастании изгибающего момента в крайних волокнах стержня возникают пластические деформации. Пусть при данном значении пластическими деформациями охвачена область от до . В этой области . При напряжения изменяются по линейному закону

Из условия равновесия момент внутренних сил

Рис. 31. Кривая деформирования при больших пластических деформациях

Рис. 32. (см. скан) Изгиб стержня прямоугольного сечения в упругопластической стадии

Если бы материал оставался упругим при любых напряжениях, то наибольшее напряжение

превышало бы предел текучести материала.

Напряжения при идеальной упругости материала показаны на рис. 32. С учетом пластической деформации напряжения, превосходящие предел текучести для идеально упругого тела, снижаются. Если эпюры распределения напряжений для действительного материала я для идеально упругою материала Сличаются одна от другой (при одних и тех же нагрузках), то в теле после снятия внешней нагрузки возникают остаточные напряжения, эпюра которых представляет собой разность эпюр упомянутых напряжений. В местах наибольших напряжений остаточные напряжения противоположны по знаку напряжениям а рабочих условиях.

Предельный пластический момент. Из формулы (51) следует, что при

величина , т. е. все сечение стержня находится в области пластической деформации.

Изгибающий момент, при котором во всех точках сечения возникают пластические деформации, называют предельным пластически и моментом. Распределение напряжений изгиба по сечению в этом случае показано на рис. 33.

В области растяжения в области сжатия . Так как из условия равновесия то нейтральная линия делит сечение на две равновеликие (по площади) части.

Для прямоугольного сечения предельный пластический момент

Рис. 33. Распределение напряжений при действии предельного пластического момента

Изгибающий момент, при котором возникает пластическая деформация только в крайних волокнах,

Отношение пластического момента сопротивления к обычному (упругому) моменту сопротивления для прямоугольного сечения

Для двутаврового сечеиия при изгибе в плоскости наибольшей жесткости это отношение составляет для тонкостенного трубчатого -1,3; для сплошного круглого сечеиия 1,7.

В общем случае величину при изгибе в плоскости симметрии сечеиия можно определить следующим способом (рис. 34); разбить сечение линией на две равновеликие (по площади) части. Если расстояние между центрами тяжести этих частей обозначить через то

где - площадь поперечного сечения; - расстояние от центра тяжести какой-либо половины сечения до центра тяжести всего сечения (точку О находит на равном расстоянии от точек

Mbt = Wpl Rbt,ser - обычная формула сопромата, в которую только внесена поправка на неупругие деформации бетона растянутой зоны: Wpl - упруго-пластический момент сопротивления приведенного сечения. Его можно определить по формулам Норм или из выражения Wpl = gWred , где Wred - упругий момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна (в нашем случае - нижнего), g = (1,25...2,0) - зависит от формы сечения и определяется по таблицам справочников. Rbt,ser - расчетное сопротивление бетона растяжению для предельных состояний 2-й группы (численно равное нормативному Rbt, n ).

153. Почему неупругие свойства бетона увеличивают момент сопротивления сечения?

Рассмотрим простейшее прямоугольное бетонное (без арматуры) сечение и обратимся к рис.75,в, на котором показана расчетная эпюра напряжений накануне образования трещин: прямоугольная в растянутой и треугольная в сжатой зоне сечения. По условию статики равнодействующие усилий в сжатой Nb и в растянутойNbt зонах равны между собой, значит равны и соответствующие площади эпюр, а это возможно, если напряжения в крайнем сжатом волокне вдвое больше растягивающих: s b= 2Rbt, ser . Равнодействующие усилий в сжатой и растянутой зонах Nb = = Nbt = Rbt, ser bh / 2, плечо между ними z = h / 4 + h / 3 = 7h / 12. Тогда момент, воспринимаемый сечением, равен M = Nbtz = (Rbt, ser bh/ 2)(7h/ 12)= = Rbt, ser bh 27/ 24 = Rbt, ser (7/4)bh 2/6, или M = Rbt, ser 1,75 W . То есть, для прямоугольного сечения g = 1,75. Таким образом, момент сопротивления сечения возрастает благодаря принятой в расчете прямоугольной эпюре напряжений в растянутой зоне, вызванной неупругими деформациями бетона.

154. Как рассчитывают нормальные сечения по образованию трещин при внецентренном сжатии и растяжении?

Принцип расчета тот же, что и при изгибе. Нужно только помнить, что моменты продольных сил N от внешней нагрузки принимают относительно ядровых точек (рис. 76, б, в):

при внецентренном сжатии Мr = N (eo - r ), при внецентренном растяжении Мr = N (eo + r ). Тогда условие трещиностойкости принимает вид: Mr ≤ Mcrc = Mrp + Mbt - то же, что и при изгибе. (Вариант центрального растяжения рассмотрен в вопросе 50.) Напомним, что отличительной особенностью ядровой точки является то, что приложенная в ней продольная сила вызывает на противоположной грани сечения нулевые напряжения (рис. 78).

155. Может ли трещиностойкость железобетонного изгибаемого элемента быть выше его прочности?

В практике проектирования действительно встречаются случаи, когда по расчету Mcrc > Mu . Чаще всего подобное происходит в преднапряженных конструкциях с центральным армированием (сваях, дорожных бортовых камнях и т.п.), которым арматура требуется только на период перевозки и монтажа и у которых она расположена по оси сечения, т.е. вблизи нейтральной оси. Объясняется это явление следующими причинами.

Рис. 77, Рис. 78

В момент образования трещины растягивающее усилие в бетоне передается арматуре при соблюдении условия: Mcrc= Nbt z1 = Ns z2 (рис. 77) – для простоты рассуждений работа арматуры до образования трещины здесь не учтена. Если окажется, что Ns = Rs As ≤ Nbt z1 / z2 , то одновременно с образованием трещин происходит и разрушение элемента, что подтверждается многочисленными экспериментами. Для некоторых конструкций такая ситуация может оказаться чреватой внезапным обрушением, поэтому Нормы проектирования в этих случаях предписывают увеличить на 15 % площадь сечения арматуры, если она подобрана расчетом по прочности. (Кстати, именно подобные сечения в Нормах именуются «слабо армированными», что вносит некоторую путаницу в давно устоявшуюся научно-техническую терминологию.)

156. В чем особенность расчета нормальных сечений по образованию трещин в стадии обжатия, транспортировки и монтажа?

Все зависит от того, трещиностойкость какой грани проверяют и какие при этом действуют усилия. Например, если при перевозке балки или плиты подкладки находятся на значительном расстоянии от торцов изделия, то в опорных сечениях действует отрицательный изгибающий момент Мw от собственного веса qw (с учетом коэффициента динамичности kД = 1,6 - см. вопрос 82). Сила обжатия Р1 (с учетом первых потерь и коэффициента точности натяжения gsp > 1) создает момент того же знака, поэтому ее рассматривают как внешнюю силу, которая растягивает верхнюю грань (рис.79), и при этом ориентируются на нижнюю ядровую точку r ´. Тогда условие трещиностойкости имеет вид:

Мw + P1 (eop - r ´ )≤ Rbt,ser W ´pl , где W ´pl - упруго-пластический момент сопротивления для верхней грани. Заметим еще, что величина Rbt,ser должна соответствовать передаточной прочности бетона.

157. Влияет ли наличие начальных трещин в зоне, сжатой от внешней нагрузки, на трещиностойкость растянутой зоны?

Влияет, причем отрицательно. Начальные трещины, образовавшиеся в стадии обжатия, перевозки или монтажа под воздействием момента от собственного веса Mw , уменьшают размеры поперечного сечения бетона (заштрихованная часть на рис. 80), т.е. уменьшают площадь, момент инерции и момент сопротивления приведенного сечения. За этим следует увеличение напряжений обжатия бетона sbp , увеличение деформаций ползучести бетона, рост потерь напряжений в арматуре от ползучести, уменьшение силы обжатия Р и снижение трещиностойкости той зоны, которая будет растянута от внешней (эксплуатационной) нагрузки.

2.5. Метод редуцирования предельного момента сопротивления для учета влияния перерезывающей силы в балках средней длины

Итак, число расчетных случаев, при которых пластификация сечения является однофакторной (чисто изгибной или чисто сдвиговой), – ограничено, а использование неявных уравнений предельной поверхности затрудняет получение аналитических решений. Как же, тем не менее, можно получить таковые?

В строительной механике корабля существует известный прием редуцирования , согласно которому учет действия в сечении балки напряжений определенного вида, а также учет факта возникновения текучести или локальной потери устойчивости в элементах сечения производят изменением геометрических характеристик сечения и продолжают расчет в рамках исходного метода (см. , например, редуцирование в расчете общей прочности корабля ). Как показано в параграфе 2.4, для конкретных типов сечений вполне можно оценить превалирование того или иного вида пластического механизма над остальными возможными и понять, какой фактор считать редукционным.

Так, если изгибно-сдвиговой механизм является в большей степени изгибным, то влияние перерезывающей силы можно попытаться учесть изменением (редуцированием) изгибного момента сопротивления, не применяя, таким образом, уравнения предельной поверхности, а продолжая рассматривать пластический механизм как однофакторный.

Пример 1. Исследование механизмов утраты несущей способности жестко заделанной балки (рис. 2.5.1, а) , загруженной равномерно распределенной нагрузкой на симметричном относительно середины балки участке 2с .

Поперечное сечение балки – несимметричный двутавр, образованный тавровым профилем с присоединенным пояском пластины (рис. 2.5.1, в , г ).

Рис.2.5.1 Модельная двутавровая балка: а – расчетная схема исследуемого объекта; б – схема нагрузок и внутренних усилий в предельном состоянии;
в – схема поперечного сечения балки в виде несимметричного двутавра :
1 – свободный поясок; 2 – стенка; 3 – присоединенный поясок; г – размеры тестового варианта сечения

Поперечное сечение характеризуется шестью геометричес­кими размерами:

h – высота стенки;

t – толщина стенки;

b f – ширина свободного пояска;

t f – толщина свободного пояска;

b pp – ширина присоединенного пояска;

t pp – толщина присоединенного пояска.

Площадь стенки ω, площадь свободного пояска S 1 , площадь присоединенного пояска S 2 и площадь всего сечения F вычисляют по зависимостям:

Рассмотрим варианты предельного пластического механизма, реализующиеся в зависимости от отношения L / h . Ряд результатов при этом является повторением материала параграфов 1.1, 2.1 и 2.2 .

Предельное состояние пластического механизма вращения. Предполагается, что в сечении действуют только нормальные напряжения. Предельное состояние сечения характеризуется условием для всех точек сечения

Изгибающий момент, действие которого вызывает предельное состояние механизма вращения, назовем предельным моментом сечения M T . Его значение определяется из двух урав­нений равновесия внешних и внутренних сил в сечении

Из уравнений равновесия следует, что

где F раст – ра стянутая часть площади сечения; F сжат – сжатая часть площади сечения.

В предельном состоянии пластическая нейтральная ось сечения (НО пл) делит его площадь пополам. Для несимметричного профиля характерных для судостроительных балок размеров пластическая нейтральная ось (НО пл) располагается пр актически на нижней поверхности присоединенного пояска (см. рис. 2.5.1) и предельный момент сопротивления имеет вид:

Предельное состояние пластического механизма сдвига. Предполагается, что сдвиговым деформациям сопротивляется только стенка, и в ее сечении действуют только касательные напряжения. Предельное состояние сечения стенки характеризуется условием для всех точек сечения

Перерезывающую силу, действие которой вызывает предельное состояние механизма сдвига, назовем предельной перерезывающей силой сечения N т . Ее значение определяется из уравнения равновесия внешних и внутренних сил в сечении:

где τ т – касательные напряжения текучести, которые в соответствии с энергетическим условием пластичности равны

Из (2.5.11) получим:

И, наконец, рассмотрим применение метода редуцирования для оценки предельного состояния, характеризуемого пластическим механизмом вращения с учетом влияния сдвига. Для учета влияния перерезывающей силы на предельное состояние сечения при изгибе примем, что перерезывающая сила воспринимается только стенкой . Поэтому пластический момент сопротивления сечения W т = W f + W ω редуцируется путем уменьшения эффективной площади стенки W ω :

Здесь

τ – действующие касательные напряжения в предположении их равномерного распределения по высоте стенки (что, естественно, принимается приближенно ); φ – редукционный коэффициент площади стенки.

Поскольку касательные напряжения при постоянной перерезывающей силе в сечении обратно пропорциональны площади поперечного сечения, можно принять, что

Введем – коэффициент эффективности площади сдвига и учтем, что

где – минимальное значение площади стенки.

Введем также коэффициент

Тогда редуцированный пластический момент сопротивления сечения может быть выражен как

а редуцированный пластический изгибающий момент определяется как

Тестовые расчеты произведем для конкретного сечения (рис. 2.5.1, г ) балки длиной 2 м, загруженной на длине 2с = 0,32 м . Заданная высота сечения позволяет считать балку (по аналогии с пластинами средней толщины) балкой «со средней высотой стенки », т.е. балкой с существеным влиянием на общий прогиб деформации поперечного сдвига. Назовем такую балку укороченной (L /h = 5,85).

Материал балки – сталь с модулем упругости E = 2,06∙10 11 Па и пределом текучести σ т =320МПа. Отстояние нейтральной оси от фибры присоединенного пояска z 0 =9,72 см. Момент инерции поперечного сечения: I = 22681,2 см 4 . Момент сопротивления фибры свободного пояска W с.п = 926,4 см 3 . Момент сопротивления фибры присоединенного пояска W пп = 2334,1 см 3 . Площадь поперечного сечения стенки балки ω с = 44,46 см 2 . Изгибающий момент фибровой текучести (упругой стадии изгибного деформирования) свободного пояска M e = σ т W сп = 296,45. 10 3 Нм.

Оценка влияния сдвиговых деформаций на прогиб для упругой стадии деформирования балки средней высоты сечения. Перед рассмотрением предельного равновесия оценим влияние сдвиговых деформаций. Для рассматриваемого случая коэффициент сечения балки k = 1,592, коэффициент загружения балки K = 0,9422, п ри этом прогиб от сдвига составляет 40% полной стрелки, а прогиб от изгиба – 60% .

Под наибольшей нагрузкой будем понимать нагрузку образования фибровой текучести при изгибном деформировании и нагрузку достижения касательных напряжений текучести при сдвиговом деформировании.

Наибольшая нагрузка упругой стадии изгибного деформирования

Наибольшая нагрузка упругой стадии сдвигового деформирования

Предельное равновесие тестовой балки по изгибному механизму. Предельное состояние сечения, характеризуемое пластическим механизмом вращения , следующее. Полный пластический изгибающий момент определяется, как

M т = σ т W т,

где W т –полный пластический момент сопротивления, W т = W f + W ω = S 1 h + ω c h / 2= (12−1,3)1,6∙34,2+44,46∙34,2/2=1346 см 3 (здесь принято, что пластическая нейтральная ось расположена на пересечении стенки и нижнего фибра пластины); W f = S 1 h – статический момент свободного пояска относительно пластической нейтральной оси (пластический момент сопротивления свободного пояска); W ω = ω c h / 2 – статический момент стенки относительно пластической нейтральной оси (пластический момент сопротивления стенки).

Таким образом, W f =586см 3 , W ω = 760см 3 .

Предельный момент сечения балки:

M т = σ т W т =430∙10 3 H∙м.

Нагрузка, соответствующая образованию предельных изгибающих моментов в опорных сечениях, равна

откуда ее равнодействующая

Нагрузка, соответствующая образованию предельных изгибающих моментов в опорных сечениях и в пролете (предельная нагрузка изгибного механизма):

Предельное равновесие тестовой балки по сдвиговому механизму. Определим предельное состояние сечения, характеризуемое пластическим механизмом сдвига. Пластические деформации возникают в стенке от действия касательных напряжений и предельная перерезывающая сила сечения имеет вид:

Предельное равновесие тестовой балки по изгибному механизму с учетом сдвига. Проведем расчет предельного состояния сечения, характеризуемого пластическим механизмом вращения с учетом механизма сдвига. Для учета влияния перерезывающей силы на предельное состояние сечения при изгибе принимается, что перерезывающая сила воспринимается только стенкой.

Определим коэффициент k ω по (2.5.18):

Установить соотношение между пластическими изгибающими моментами в шарнирах и внешней нагрузкой можно на основании К.Э.Т. Полагаем точкой начала оси x (рис. 2.5.1, б ) среднюю точку пролета, что позволяет определить угол слома – 2w /L , где w – прогиб в центральном сечении. Очевидно, что в центральном сечении предельный момент не редуцируется .

Из равенства работ внешних и внутренних усилий

получаем:

Подстановка в последнее выражение формул для моментов M T (2.5.6) и M Tr (2.5.20) дает:

Если учесть, что , то получаем квадратное уравнение относительно предельной нагрузки Q _ u :

Для рассматриваемого случая Q _ u =1534∙10 3 Ни φ =0,358.

Результаты расчета нагрузки и прогиба для различных стадий деформирования с использованием балочной модели представлены в табл. 2.5.1.

Как видно, самая большая предельная нагрузка изгибного механизма равна 1871кН, затем следует предельная нагрузка сдвигового механизма 1643кН, и, наконец, самая маленькая предельная нагрузка комбинированного механизма изгиба с учетом сдвига 1534кН, которая и должна реализовываться первой .

Полученный результат достаточно хорошо подтверждается прямым численным моделированием процесса потери несущей способности укороченной балки. Методы такого моделирования выходят за рамки настоящего пособия.

Таблица 2.5.1

Влияние вида пластического механизма на предельное НДС

		Прогиб, мм
		суммарный	от изгиба	от сдвига
	1371	2,984	1,79	1,194
	164 3	3,576	2 , 146	1, 43
	1196	2,604	1 , 562	1, 042
	1871	4,074	2 , 445	1 , 629
Предельная нагрузка изгибного механизма с учетом сдвига	1534	3,340	2,004	1,336