Все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление , или заделка (рис.1,в).

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил Nz

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.

3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр .

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр : условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.

Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Порядок расчета.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил .

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр .

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой . В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

Порядок расчета .

1. Намечаем характерные сечения.

Основные понятия. Поперечная сила и изгибающий момент

При изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно друг друга вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали машин и элементы конструкций. В практике встречаются поперечный (прямой), косой и чистый виды изгиба.

Поперечным (прямым) (рис. 61, а) называется изгиб, когда внешние силы, перпендикулярные продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей её поперечного сечения.

Косой изгиб (рис. 61, б) это изгиб, когда силы действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей ни через одну из главных центральных осей её поперечного сечения.

В поперечных сечениях балок при изгибе возникают два вида внутренних сил - изгибающий момент М и и поперечная сила Q. В частном случае, когда поперечная сила равна нулю, а возникает только изгибающий момент, то имеет место чистый изгиб (рис. 61, в). Чистый изгиб возникает при нагружении распределенной нагрузкой или при некоторых нагружениях сосредоточенными силами, например, балка, нагруженная двумя симметричными равными силами.

Рис. 61. Изгиб: а - поперечный (прямой) изгиб; б - косой изгиб; в - чистый изгиб

При изучении деформации изгиба мысленно представляется, что балка состоит из бесконечного количества волокон, параллельных продольной оси. При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются , лежащие на вогнутой стороне - сжимаются , а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон (продольная ось), которые только искривляются , не изменяя своей длины; продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления и, следовательно, испытывают только растяжение и сжатие.

Внутренние силовые факторы в сечениях балок - поперечная сила Q и изгибающий момент М и (рис. 62) зависят от внешних сил и изменяются по длине балки. Законы изменения поперечных сил и изгибающих моментов представляются некоторыми уравнениями, в которых аргументами являются координаты z поперечных сечений балок, а функциями - Q и М и. Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений.

Рис. 62.

Поперечная сила Q есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки. Следует иметь в виду, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики.

Изгибающий момент М и есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки. Изгибающий момент также, как и поперечная сила имеет разное направление для левой и правой части балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении изгибающего момента.

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа от сечения, видно, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и и поперечная сила Q. Таким образом, в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту", но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки поперечных сил Q и изгибающих моментов М и удобно представлять их в виде эпюр, ординаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения Q и М и. Эпюры строятся аналогично построению эпюр продольных сил (см. 4.4) и крутящих моментов (см. 4.6.1.).

Рис. 63. Направление поперечных сил: а - положительное; б - отрицательное

Так как для установления знаков поперечных сил и изгибающих моментов правила знаков статики неприемлемы, установим для них другие правила знаков, а именно:

• - если внешние сипы (рис.
• 63, а), лежащие по левую сторону от сечения, стремятся приподнять левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, опустить правую часть балки, то поперечная сила Q положительна;
• - если внешние силы (рис.
• 63, б), лежащие по левую сторону от сечения, стремятся опустить левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, приподнять правую часть балки, то поперечная сила (Зотрицательна;

Рис. 64. Направление изгибающих моментов: а - положительное; б - отрицательное

• - если внешняя нагрузка (сила и момент) (рис. 64, а), расположенная слева от сечения, даёт момент, направленный по ходу часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный против хода часовой стрелки, то изгибающий момент М и считается положительным;
• - если внешняя нагрузка (рис. 64, б), расположенная слева от сечения, даёт момент, направленный против хода часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент М и считается отрицательным.

Правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз (растянутые волокна расположены внизу). Изгибающий момент считается отрицательным, если балка изгибается выпуклостью вверх (растянутые волокна расположены вверху).

Пользуясь правилами знаков, следует мысленно представлять себе сечение балки жёстко защемлённым, а связи - отброшенными и заменёнными их реакциями. Для определения реакций пользуются правилами знаков статики.

Рассчитывать балку на изгиб можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.

После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:

Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.

Для пластичных материалов (сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала , а для хрупких (чугун) – пределу прочности . Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.

Давайте рассмотрим пару примеров:
1. [i]Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.

На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине , то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:

P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН

М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м

По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.

Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.

б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа

После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.

45.34 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.

2. [i]Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).

УДК 539.52

ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕННОЙ БАЛКИ, НАГРУЖЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ, НЕСИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ И ОПОРНЫМИ МОМЕНТАМИ

И.А. Монахов1, Ю.К. Басов2

кафедра строительного производства Строительный факультет Московский государственный машиностроительный университет ул. Павла Корчагина, 22, Москва, Россия, 129626

2Кафедра строительных конструкций и сооружений Инженерный факультет Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В статье разработана методика решения задач о малых прогибах балок из идеального жестко-пластического материала при действии несимметрично распределенных нагрузок с учетом предварительного растяжения-сжатия. Разработанная методика применена для исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных балок, а также для вычисления предельной нагрузки балок.

Ключевые слова: балка, нелинейность, аналитическое.

В современном строительстве, судостроении, машиностроении, химической промышленности и в других отраслях техники наиболее распространенными видами конструкций являются стержневые, в частности балки. Естественно, что для определения реального поведения стержневых систем (в частности, балок) и ресурсов их прочности необходим учет пластических деформаций.

Расчет конструктивных систем при учете пластических деформаций с помощью модели идеального жесткопластического тела является наиболее простым, с одной стороны, и достаточно приемлемым с точки зрения требований практики проектирования - с другой. Если иметь в виду область малых перемещений конструктивных систем, то это объясняется тем, что несущая способность («предельная нагрузка») идеальных жесткопластических и упругопластических систем оказывается одной и той же.

Дополнительные резервы и более строгая оценка несущей способности конструкций выявляются в результате учета геометрической нелинейности при деформировании их. В настоящее время учет геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем является первоочередной задачей не только с точки зрения развития теории расчета, но и с точки зрения практики проектирования сооружений. Приемлемость решений задач о расчете конструкций в условиях малости

перемещений достаточно неопределенна, с другой стороны, практические данные и свойства деформируемых систем позволяют считать, что большие перемещения являются реально достижимыми. Достаточно указать на конструкции строительных, химических, судо- и машиностроительных объектов. Кроме того, модель жесткопластического тела означает пренебрежение упругими деформациями, т.е. пластические деформации намного превосходят упругие. Поскольку деформациям соответствуют перемещения, то учет больших перемещений жесткопластических систем является уместным.

Однако геометрически нелинейное деформирование конструкций в большинстве случаев неизбежно приводит и к возникновению пластических деформаций. Поэтому особое значение приобретает одновременный учет пластических деформаций и геометрической нелинейности в расчетах конструктивных систем и, конечно, стержневых.

В данной статье рассматриваются малые прогибы. Подобные задачи решались в работах .

Рассматривается балка с защемленными опорами, под действием ступенчатой нагрузки, краевых моментов и предварительно приложенной продольной силы (рис. 1).

Рис. 1. Балка под распределенной нагрузкой

Уравнения равновесия балки при больших прогибах в безразмерной форме имеет вид

d2 т / , ч d2 w dn

-- + (п ± щ)-- + р = ^ - = 0, dx ах ах

х 2w р12 М N ,г,

где х ==, w =-, р =--, т =--, п =-, N и М - внутренние нормальная

I к 5хЪк Ъ!!Ък 25!!Ък

сила и изгибающий момент, р - поперечная равномерно распределенная нагрузка, W - прогиб, х - продольная координата (начало координат на левой опоре), 2к - высота поперечного сечения, Ъ - ширина поперечного сечения, 21 - пролет балки, 5^ - предел текучести материала. Если N задано, то усилие N является следствием действия р при

имеющихся прогибах, 11 = = , черта над буквами означает размерность величин.

Рассмотрим первый этап деформирования - «малые» прогибы. Пластическое сечение возникает при х = х2, в нем т = 1 - п2.

Выражения для скоростей прогибов имеют вид - прогиб при х = х2):

(2-х), (х > Х2),

Решение задачи разбивается на два случая: х2 < 11 и х2 > 11.

Рассмотрим случай х2 < 11.

Для зоны 0 < х2 < 11 из (1) получаем:

Рх 111 1 Р11 к1р/1 т = + к1 р + р/1 -к1 р/1 -±4- +-^41

х -(1 -п2)±а,

(, 1 , р/2 к1 р12Л

Рх2 + к1 р + р11 - к1 р11 -+ 1 ^

Х2 = к1 +11 - к111 - + ^

Учитывая возникновение пластического шарнира при х = х2, получаем:

тх=х = 1 - п2 =- р

(12 к12 Л к +/ - к1 - ^ + к"А

к, + /, - к,/, -L +

(/ 2 к/ 2 Л к1 + /1 - к1/1 - ^ + М

Рассматривая случай х2 > /1, получаем:

для зоны 0 < х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид

к р-р2 + кар/1+р/1 -к1 р/1 ^ х-(1-П12)±

а для зоны 11 < х < 2 -

^ р-рЦ + 1^ Л

х -(1 -п-)±а +

(. рг- к1 р1-Л

Кх рх2 + кх р+

0, и тогда

I2 12 1 ч ч х2 = 1 -- + -.

Из условия пластичности вытекает равенство

откуда получаем выражение для нагрузки:

к1 - 12 + М Л2

К1/12 - к2 ¡1

Таблица 1

к1 = 0 11 = 0,66

Таблица 2

к1 = 0 11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Таблица 3

к1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Таблица 5 к1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Таблица 3

к1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Таблица 6 к1 = 1 11 = 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Таблица 7 Таблица 8

к, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Задавая коэффициент нагрузки к1 от 0 до 1, изгибающий момент а от -1 до 1, значение продольной силы п1 от 0 до 1, расстояние /1 от 0 до 2, получим положение пластического шарнира по формулам (3) и (5), а затем получим значение предельной нагрузки по формулам (4) или (6). Численные результаты расчетов сведены в таблицы 1-8.

ЛИТЕРАТУРА

Басов Ю.К., Монахов И.А. Аналитическое решение задачи о больших прогибах жестко-пластической защемленной балки под действием локальной распределенной нагрузки, опорных моментов и продольной силы // Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования». - 2012. - № 3. - С. 120-125.

Савченко Л.В., Монахов И.А. Большие прогибы физически нелинейных круглых пластинок // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». - Вып. 8(35). - СПб., 2009. - С. 132-134.

Галилеев С.М., Салихова Е.А. Исследование частот собственных колебаний элементов конструкции из стеклопластика, углепластика и графена // Вестник ИНЖЕКОНА. Серия «Технические науки». - Вып. 8. - СПб., 2011. - С.102.

Ерхов М.И., Монахов А.И. Большие прогибы предварительно напряженной жесткопласти-ческой балки с шарнирными опорами при равномерно распределенной нагрузке и краевых моментах // Вестник отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. - 1999. - Вып. 2. - С. 151-154. .

THE LITTLE DEFLECTIONS OF THE PREVIOUSLY INTENSE IDEAL PLASTIC BEAMS WITH THE REGIONAL MOMENTS

I.A. Monakhov1, U.K. Basov2

"Department of Building production manufacture Building Faculty Moscow State Machine-building University Pavla Korchagina str., 22, Moskow, Russia,129626

Department of Bulding Structures and Facilities Enqineering Faculty Peoples" Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419

In the work up the technique of the decision of problems about the little deflections of beams from ideal hard-plastic material, with various kinds of fastening, for want of action of the asymmetrically distributed loads with allowance for of preliminary stretching-compression is developed. The developed technique is applied for research of the strained-deformed condition of beams, and also for calculation of a deflection of beams with allowance for of geometrical nonlinearity.

Key words: beam, analytic, nonlinearity.

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек . Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A ), сосредоточенного момента (B ), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — .

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M . Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия .

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М ) и поперечных сил (Q ).

1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В .

Составляем уравнения равновесия .

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему .

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения .

сеч. 1-1 ход слева .

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой , отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см.

Строим по найденным значением эпюру Q .

сеч. 2-2 ход справа .

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q .

сеч. 3-3 ход справа .

сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q .

3. Построение эпюры М методом характерных точек .

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В , С , D , а также точка К , в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум . Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е , поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов . Правило знаков — см. .

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D . Сам момент в эти выражения не входит . В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q =0). Однако сначала определим положение точки К , обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х .

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0 , а z 2 равняется неизвестному х .

Получаем уравнение:

Теперь, зная х , определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М . Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции .

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0 , в заделеке — величине реакции R A.
3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз.

(сжаты нижние волокна).

Участок DC: (сжаты верхние волокна).

Участок СК: (сжаты левые волокна)

(сжаты левые волокна)

На рисунке - эпюры нормальных (продольных ) сил — (б), поперечных сил — (в) и изгибающих моментов — (г).

Проверка равновесия узла С:

Задача 2 Построить эпюры внутренних усилий для рамы (рис. а).

Дано: F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, а=3м, h=2м.

Определим опорные реакции рамы:

Из этих уравнений найдем:

Поскольку значения реакции R K имеет знак минус , на рис. а изменяется направление данного вектора на противоположное , при этом записывается R K =83,33кН .

Определим значения внутренних усилий N, Q и М в характерных сечениях рамы:

Участок ВС :

(сжаты правые волокна) .

Участок CD:

(сжаты правые волокна);

(сжаты правые волокна).

Участок DE:

(сжаты нижние волокна);

(сжаты нижние волокна).

Участок КС

(сжаты левые волокна).

Построим эпюры нормальных (продольных) сил (б), поперечных сил (в) и изгибающих моментов (г).

Рассмотрим равновесие узлов D и Е

Из рассмотрения узлов D и Е видно, что они находятся в равновесии .

Задача 3. Для рамы с шарниром построить эпюры внутренних усилий.

Дано: F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, а=2м, h=2м.

Решение. Определим опорные реакции . Следует отметить,что в обеих шарнирно-неподвижных опорах по две реакции. В связи с этим следует использовать свойство шарнира С — момент в нем как от левых,так и от правых сил равен нулю . Рассмотрим левую часть.

Уравнения равновесия для рассматриваемой рамы можно записать в виде:

Из решения данных уравнений следует:

На схеме рамы направление действия силы Н В изменяется на противоположное (Н B =15кН ).

Определим усилия в характерных сечениях рамы.

Участок BZ:

(сжаты левые волокна).

Участок ZC:

(сжаты левые волокна);

Участок КD:

(сжаты левые волокна);

(сжаты левые волокна).

Участок DС:

(сжаты нижние волокна);

Определение экстремального значения изгибающего момента на участке CD:

1. Построение эпюры поперечных сил. Для консольной балки (рис. а ) характерные точки: А – точка приложения опорной реакции V A ; С – точка приложения сосредоточенной силы; D , B – начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балке. Итак, при ходе слева:

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях пройдите балку аналогичным образом, но с правого конца. Тогда отсеченными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменятся. Результат должен получиться тот же. Строим эпюру поперечной силы (рис,б ).

2. Построение эпюры моментов

Для консольной балки эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.Характерные точки для этой балки (см. рис. а ) следующие: А – опора; С - точка при­ложения сосредоточенного момента и силы F ; D и В - начало и конец действия рав­номерно распределенной на­грузки. Поскольку эпюра Q x на участке действия распределенной нагрузки нулевую линию не пересекает , для построения эпюры моментов на данном участке (параболическая кривая) следует выбрать произвольно дополнительную точку для построения кривой, к примеру в середине участка.

Ход слева:

Ходом справа находим M B = 0.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (см. рис. в ).

Запись опубликована автором admin ограничивается наклонной прямой , а на участке, на котором нет распределенной нагрузки, - прямой, параллельной оси , поэтому для построения эпюры поперечных сил достаточно определить значения Q у в начале и конце каждого участка. В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки (на бесконечно близком расстоянии от нее) и чуть правее ее; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно .

Строим эпюру Q у методом характерных точек, ходом слева. Для большей наглядности отбрасываемую часть балки на первых порах рекомендуется закрывать листом бумаги. Характерными точками для двухопорной балки (рис. а ) будут точки C и D – начало и конец распределенной нагрузки, а также A и B – точки приложения опорных реакций, E – точка приложения сосредоточенной силы. Проведем мысленно ось y перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять ее положение, пока не пройдем всю балку от C до E . Рассматривая левые отсеченные по характерным точкам части балки, проецируем на ось y действующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем:

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях можно пройти балку аналогичным образом, но с правого конца. Тогда отсеченными будут правые части балки. Результат должен получиться тот же. Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Q у . Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Q у (рис. б ).

Построив эпюру, обратите внимание на следующее: эпюра под распределенной нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками - отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, рав­ный значению силы. Если наклонная линия под распределенной на­грузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, то это точка экстремума , и она является теперь для нас характерной, согласно дифференциальной зависимости между Q у и М x , в этой точке момент имеет экстремум и его нужно будет определить при построении эпюры изгибающих моментов. В нашей задаче это точка К . Сосредоточенный момент на эпю­ре Q у себя никак не проявляет, так как сумма проекций сил, образую­щих пару, равна нулю.

2. Построение эпюры моментов. Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, ме­тодом характерных точек, ходом слева. Известно, что на участке балки с равномерно распределенной нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией (квадратичной параболой) , для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значе­ния изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном проме­жуточном сечении. Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение, в кото­ром эпюра Q у пересекает нулевую линию, т.е. где Q у = 0. На эпюре М в этом сечении должна находиться вершина параболы. Если же эпюра Q у не пересекает нулевую линию, то для построения эпюры М следует на данном участке взять дополнительную точку, к примеру, в середине участка (начала и конца действия распределенной нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если на­грузка действует сверху вниз (для строительных специальностей). Существует правило «дождя», которое очень помогает при построении параболической части эпю­ры М . Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределенная нагрузка - это дождь, подставьте под него зонт в перевернутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нем. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и бу­дет выглядеть очертание эпюры моментов под распределенной нагрузкой. Для механиков существует так называемое правило «зонта». Распределенная нагрузка представляется дождем, а очертание эпюры должно напоминать очертания зонтика. В данном примере эпюра построена для строителей.

Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточ­ных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определить в произвольном сечении, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значения изгибающих моментов в соответствую­щих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределенной нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соот­ветствующих началу и концу участка, так как эпюра М на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислять изгибающий момент чуть левее места приложения сосредоточенного момента и чуть правее его.

Для двухопорной балки характерные точки следующие: C и D – начало и конец распределенной нагрузки; А – опора балки; В – вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента; Е – правый конец балки; точка К , соответствующая сечению балки, в котором Q у = 0.

Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем (возьмите лист бумаги и прикройте им отбрасываемую часть балки). Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки. Итак,

Прежде чем определить момент в сечении К , необходимо найти расстояние х=АК . Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его к нулю (ход слева):

Это расстояние можно найти также из подобия треугольников KLN и KIG на эпюре Q у (рис.б ) .

Определяем момент в точке К :

Пройдем оставшуюся часть балки ходом справа.

Как видим, момент в точке D при ходе слева и справа получился одинаковый – эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру. Положительные значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные – вверх (см. рис. в ).