Коэффициент жесткости пружины зависит от. Как найти коэффициент жесткости пружины

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров . Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая . Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука :

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей . Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

1. Динамометр является...
2. Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается...
3. Явлением деформации тел называют...
4. Пластически деформированным мы назовём тело, ...
5. В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, ...
6. Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, ...
7. Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только...
8. Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, ...
9. Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что...
10. Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что...
11. По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа...
12. Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, ...
13. В результате выражения величины «k» мы...
14. Ещё из математики начальной школы мы знаем, что...
15. Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он...

Вы хорошо учили физику в школе? Знаете основные физические законы и смогли бы вот так просто взять и рассчитать, к примеру, жесткость пружины? Начнём с теоретических знаний. Жесткость пружины – это коэффициент, связывающий удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Жесткость пружины ещё называют коэффициентом упругости или коэффициентом Гука, так как относится жесткость пружины именно к закону Гука. Что же такое сила упругости, которая упоминается в данном законе? Сила упругости – это сила, которая возникает при деформации тела и противодействующая этой деформации.

Математический метод

Как определить жесткость пружины или же, по терминологии такой науки, как физика, коэффициент жесткости пружины? Для этого нужно знать простую формулу, по которой и высчитывается жесткость пружины. Эта формула, а точнее закон Гука, выглядит так: F=|kx|, где k – это коэффициент упругости пружины, x – это удлинение пружины или же, как её ещё называют, величина деформации пружины. А величина, обозначенная буквой F, соответственно, сила упругости, которую мы и высчитываем. Чтобы узнать, какова жесткость пружины необходимо измерить две другие величины, обозначенные в формуле, пользуясь стандартными математическими законами. Далее следует просто решить уравнение с одним неизвестным.

Опытный метод

Чтобы понять, как найти жесткость пружины, а точнее, определить коэффициент жесткости пружины опытным путем, следует произвести следующие манипуляции. Вам необходимо деформировать тело, прилагая к нему силу. Самый простой вид деформации – это сжатие или растяжение. Коэффициент жесткости показывает именно то, какую силу необходимо приложить к телу, чтобы упруго деформировать его на единицу длины. Мы сейчас говорим об упругой деформации, когда тело принимает свою первоначальную форму после совершения воздействия на него. Для того чтобы провести этот наглядный эксперимент вам потребуются следующие вещи:

• калькулятор,
• ручка,
• тетрадь,
• пружина,
• линейка,
• груз.

Итак, один конец пружины закрепите вертикально, а второй оставьте свободным. Измерьте длину пружины и запишите результат в тетрадь (это будет значение x1). Подвесьте к свободному концу пружины груз весом в сто граммов и опять измерьте длину пружины, запишите значение (x2). Рассчитайте абсолютное удлинение пружины (разница значений x1 и x2). При небольших сжатиях и растяжениях сила упругости пропорциональна деформации. Здесь уже применяем Закон Гука, согласно которому Fупр = |kx|, где k и является коэффициентом жесткости. Для того чтобы найти нужный нам коэффициент жесткости надо силу растяжения разделить на удлинение пружины. Силу растяжения находим следующим образом: Fупр = - N = -mg. Отсюда следует, что mg = kx. А значит, k = mg/x. Дальше все просто: подставьте известные вам значения в формулу и найдите, чему равна жёсткость пружины.

Если под воздействием внешних сил на твердое тело оно деформируется, то в нем происходят смещения частиц узлов кристаллической решетки. Этому сдвигу противостоят силы взаимодействия частиц. Так возникают силы упругости, которые приложены к телу, подвергшемуся деформации. Модуль силы упругости пропорционален деформации:

где — напряжение при упругой деформации, K — модуль упругости, который равен напряжению при относительной деформации, равной единице. где — относительная деформация, — абсолютная деформация, — первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом упругости называют физическую величину, которая связывает в законе Гука удлинение, возникающее при деформации упругого тела и силу упругости. Величина равная называется коэффициентом упругости. Она показывает изменение размера тела под воздействием нагрузки при упругой деформации.

Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров. Так при увеличении длины пружины и уменьшении ее толщины коэффициент упругости уменьшается.

Модуль Юнга и коэффициент упругости

При продольной деформации, в одностороннем растяжении (сжатии) мерой деформации служит относительное удлинение, которое обозначают или . При этом модуль силы упругости определяют как:

где — модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости () и характеризующий упругие свойства тела; — первоначальная длина тела; — изменение длины при нагрузке . При S — площадь поперечного сечения образца.

Коэффициент упругости растянутой (сжатой) пружины

При растяжении (сжатии) пружины вдоль оси X закон Гука записывается как:

где — модуль проекции силы упругости; — коэффициент упругости пружины, — удлинение пружины. Тогда коэффициент упругости — это сила, которую следует приложить к пружине, чтобы изменить ее длину на единицу.

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента упругости в системе СИ является:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Для начала определим основные термины , которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация - это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д.), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

• лепка из глины;
• погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

• резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
• пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F - сила упругости, x - расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k - необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ - на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ - Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости . В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k - общая жесткость системы, k1, k2, …, ki - отдельные жесткости каждого элемента, i - общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно , величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука . Для проведения эксперимента понадобятся:

• линейка;
• пружина;
• груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
6. Сила, которая вызвала деформацию, - это сила тяжести тела. Формула для ее расчета - F = mg, где m - это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g - величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14-10 = 4 см = 0,04 м.
2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Чем большей деформации подвергается тело, тем значительней в нем возникает сила упругости. Это значит, что деформация и сила упругости взаимосвязаны, и по изменению одной величины можно судить об изменении другой. Так, зная деформацию тела, можно вычислить возникающую в нем силу упругости. Или, зная силу упругости, определить степень деформации тела.

Если к пружине подвешивать разное количество гирек одинаковой массы, то чем больше их будет подвешено, тем сильнее пружина растянется, то есть деформируется. Чем больше растянута пружина, тем большая в ней возникает силы упругости. Причем опыт показывает, что каждая следующая подвешенная гирька увеличивает длину пружины на одну и туже величину.

Так, например, если исходная длина пружины была 5 см, а подвешивание на ней одной гирьки увеличило ее на 1 см (т. е. пружина стала длиной 6 см), то подвешивание двух гирек увеличит ее на 2 см (общая длина составит 7 см), а трех - на 3 см (длина пружины будет 8 см).

Еще до опыта известно, что вес и возникающая под его действием сила упругости находятся друг с другом в прямопропорциональной зависимости. Кратное увеличение веса во столько же раз увеличит силу упругости. Опыт же показывает, что деформация точно также зависит от веса: кратное увеличение веса во столько же раз увеличивает изменения в длине. Это значит, что, исключив вес, можно установить прямопропорциональную зависимость между силой упругости и деформацией.

Если обозначить удлинение пружины в результате ее растяжения как x или как ∆l (l 1 – l 0 , где l 0 - начальная длина, l 1 - длина растянутой пружины), то зависимость силы упругости от растяжения можно выразить такой формулой:

F упр = kx или F упр = k∆l, (∆l = l 1 – l 0 = x)

В формуле используется коэффициент k . Он показывает, в какой именно зависимости находятся сила упругости и удлинение. Ведь удлинение на каждый сантиметр может увеличивать силу упругости одной пружины на 0,5 Н, второй на 1 Н, а третьей на 2 Н. Для первой пружины формула будет выглядеть как F упр = 0,5x, для второй - F упр = x, для третьей - F упр = 2x.

Коэффициент k называют жесткостью пружины. Чем жестче пружина, тем труднее ее растянуть, и тем большее значение будет иметь k. А чем больше k, тем больше будет сила упругости (F упр) при равных удлинения (x) разных пружин.

Жесткость зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее формы и размеров.

Единицей измерения жесткости является Н/м (ньютон на метр). Жесткость показывает, сколько ньютонов (сколько сил) надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 м. Или насколько метров растянется пружина, если приложить для ее растяжения силу в 1 Н. Например, к пружине приложили силу в 1 Н, и она растянулась на 1 см (0,01 м). Это значит, что ее жесткость равна 1 Н / 0,01 м = 100 Н/м.

Также, если обратить внимание на единицы измерения, то станет понятно, почему жесткость измеряется в Н/м. Сила упругости, как и любая сила, измеряется в ньютонах, а расстояние - в метрах. Чтобы уровнять по единицам измерения левую и правую части уравнения F упр = kx, надо в правой части сократить метры (то есть поделить на них) и добавить ньютоны (то есть умножить на них).

Соотношение между силой упругости и деформацией упругого тела, описываемое формулой F упр = kx, открыл английский ученый Роберт Гук в 1660 году, поэтому это соотношение носит его имя и называется законом Гука .

Упругой деформацией является такая, когда после прекращения действия сил, тело возвращается в свое исходное состояние. Бывают тела, которые почти нельзя подвергнуть упругой деформации, а у других она может быть достаточно большой. Например, поставив тяжелый предмет на кусок мягкой глины, вы измените его форму, и этот кусок сам уже не вернется в исходное состояние. Однако если вы растяните резиновый жгут, то после того, как отпустите его, он вернет свои исходные размеры. Следует помнить, что закон Гука применим только для упругих деформаций.

Формула F упр = kx дает возможность по известным двум величинам вычислять третью. Так, зная приложенную силу и удлинение, можно узнать жесткость тела. Зная, жесткость и удлинение, найти силу упругости. А зная силу упругости и жесткость, вычислить изменение длины.