Явные формулы для обратных матриц. Способы нахождения обратной матрицы

Способы нахождения обратной матрицы, . Рассмотрим квадратную матрицу

Обозначим Δ =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной , если Δ = 0.

Квадратная матрица В есть для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А - 1 , так что В = А - 1 и вычисляется по формуле

, (1)

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A..

Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2.10 . Для матрицы найти A -1 .

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: , где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной матрицы.

Откуда .

Пример 2.11 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~ . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной матрицей к данной матрице А. Итак,
.

Похожие на обратные по многим свойствам.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Как находить обратную матрицу - bezbotvy

✪ Обратная матрица (2 способа нахождения)

✪ Обратная матрица #1

✪ 2015-01-28. Обратная матрица 3x3

✪ 2015-01-27. Обратная матрица 2х2

Субтитры

Свойства обратной матрицы

• det A − 1 = 1 det A {\displaystyle \det A^{-1}={\frac {1}{\det A}}} , где det {\displaystyle \ \det } обозначает определитель .
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} для двух квадратных обратимых матриц A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} .
• (A T) − 1 = (A − 1) T {\displaystyle \ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} , где (. . .) T {\displaystyle (...)^{T}} обозначает транспонированную матрицу.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle \ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} для любого коэффициента k ≠ 0 {\displaystyle k\not =0} .
• E − 1 = E {\displaystyle \ E^{-1}=E} .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b - ненулевой вектор) где x {\displaystyle x} - искомый вектор, и если A − 1 {\displaystyle A^{-1}} существует, то x = A − 1 b {\displaystyle x=A^{-1}b} . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса-Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E . Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 {\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}} . Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] {\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}} .

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ {\displaystyle \Lambda } , то есть будет искомой. Сложность алгоритма - O (n 3) {\displaystyle O(n^{3})} .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Матрица, обратная матрице A {\displaystyle A} , представима в виде

A − 1 = adj (A) det (A) {\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}

где adj (A) {\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} - присоединенная матрица ;

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение A X = I n {\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X {\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n {\displaystyle n} систем вида A x = b {\displaystyle Ax=b} . Обозначим i {\displaystyle i} -ый столбец матрицы X {\displaystyle X} через X i {\displaystyle X_{i}} ; тогда A X i = e i {\displaystyle AX_{i}=e_{i}} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i {\displaystyle i} -м столбцом матрицы I n {\displaystyle I_{n}} является единичный вектор e i {\displaystyle e_{i}} . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение P A = L U {\displaystyle PA=LU} . Пусть P A = B {\displaystyle PA=B} , B − 1 = D {\displaystyle B^{-1}=D} . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1 L − 1 {\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида U D = L − 1 {\displaystyle UD=L^{-1}} и D L = U − 1 {\displaystyle DL=U^{-1}} . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n (n + 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n (n − 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаем равенство A − 1 = D P {\displaystyle A^{-1}=DP} .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма - O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

{ Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i {\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U 0 {\displaystyle U_{0}} , обеспечивающие выполнение условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы A A T {\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A - симметричная положительно определённая матрица и ρ (A) ≤ β {\displaystyle \rho (A)\leq \beta } , то можно взять U 0 = α E {\displaystyle U_{0}={\alpha }E} , где ; если же A - произвольная невырожденная матрица и ρ (A A T) ≤ β {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta } , то полагают U 0 = α A T {\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}} , где также α ∈ (0 , 2 β) {\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)} ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ (A A T) ≤ k A A T k {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}} , положить U 0 = A T ‖ A A T ‖ {\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}} ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖ Ψ 0 ‖ {\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖ Ψ 0 ‖ > 1 {\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1} ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2х2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A})}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что a d − b c = det A ≠ 0 {\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0} .

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

Размерность матрицы 2 3 4 5 6 7 8 9 10

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Нахождение транспонированной матрицы A T .
2. Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
3. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .

1. Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
2. Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
3. Определение алгебраических дополнений.
4. Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
5. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
6. Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Алгебраические дополнения.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель данной квадратной матрицы A .
2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием преобразований метода Гаусса и Гаусса-Жордана. Зачастую этот метод нахождения обратной матрицы именуют методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Для применения этого метода в одну матрицу записывают заданную матрицу $A$ и единичную матрицу $E$, т.е. составляют матрицу вида $(A|E)$ (эту матрицу называют также расширенной). После этого с помощью элементарных преобразований, выполняемых со строками расширенной матрицы, добиваются того, что матрица слева от черты станет единичной, причём расширенная матрица примет вид $\left(E| A^{-1} \right)$. К элементарным преобразованиям в данной ситуации относят такие действия:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Применять указанные элементарные преобразования можно разными путями. Обычно выбирают метод Гаусса или метод Гаусса-Жордана. Вообще, методы Гаусса и Гаусса-Жордана предназначены для решения систем линейных алгебраических уравнений, а не для нахождения обратных матриц. Фразу «применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы» здесь нужно понимать как «применение операций, свойственных методу Гаусса, для нахождения обратной матрицы».

Нумерация примеров продолжена с первой части . В примерах и рассмотрено применение метода Гаусса для нахождения обратной матрицы, а в примерах и разобрано использование метода Гаусса-Жордана. Следует отметить, что если в ходе решения все элементы некоторой строки или столбца матрицы, расположенной до черты, обнулились, то обратной матрицы не существует.

Пример №5

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left(\begin{array} {ccc} 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right)$.

В этом примере будет найдена обратная матрица методом Гаусса. Расширенная матрица, имеющая в общем случае вид $(A|E)$, в данном примере примет такую форму: $ \left(\begin{array} {ccc|ccc} 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Цель: с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к виду $\left(E|A^{-1} \right)$. Применим те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Для применения метода Гаусса удобно, когда первым элементом первой строки расширенной матрицы является единица. Чтобы добиться этого, поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы, которая станет такой: $ \left(\begin{array} {ccc|ccc} 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Теперь приступим к решению. Метод Гаусса делится на два этапа: прямой ход и обратный (подробное описание этого метода для решения систем уравнений дано в примерах соответствующей темы). Те же два этапа будут применены и в процессе отыскания обратной матрицы.

Прямой ход

Первый шаг

С помощью первой строки обнуляем элементы первого столбца, расположенные под первой строкой:

Немного прокомментирую выполненное действие. Запись $II-2\cdot I$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на два. Это действие можно записать отдельно следующим образом:

Точно так же выполняется и действие $III-7\cdot I$. Если возникают сложности с выполнением этих операций, их можно выполнить отдельно (аналогично показанному выше действию $II-2\cdot I$), а результат потом внести в расширенную матрицу.

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элемент второго столбца, расположенный под второй строкой:

Разделим третью строку на 5:

Прямой ход окончен. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы до черты, обнулились.

Обратный ход

Первый шаг

С помощью третьей строки обнуляем элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

Перед переходом к следующему шагу разделим вторую строку на $7$:

Второй шаг

С помощью второй строки обнуляем элементы второго столбца, расположенные над второй строкой:

Преобразования закончены, обратная матрица методом Гаусса найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, можно сделать так же, как и в предыдущих примерах. Если пропустить все пояснения, то решение примет вид:

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end{array} \right)$.

Пример №6

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left(\begin{array} {cccc} -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & -4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$.

Для нахождения обратной матрицы в этом примере будем использовать те же операции, что применяются при решении систем линейных уравнений методом Гаусса. Подробные пояснения даны в , здесь же ограничимся краткими комментариями. Запишем расширенную матрицу: $\left(\begin{array} {cccc|cccc} -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$. Поменяем местами первую и четвёртую строки данной матрицы: $\left(\begin{array} {cccc|cccc} 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$.

Прямой ход

Преобразования прямого хода завершены. Все элементы, расположенные под главной диагональю матрицы слева от черты, обнулились.

Обратный ход

Обратная матрица методом Гаусса найдена, $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$. Проверку, при необходимости, проводим так же, как и в примерах №2 и №3.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end{array} \right)$.

Пример №7

Найти матрицу $A^{-1}$, если $A=\left(\begin{array} {ccc} 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end{array} \right)$.

Для нахождения обратной матрицы применим операции, характерные методу Гаусса-Жордана. Отличие от метода Гаусса, рассмотренного в предыдущих примерах и , состоит в том, что решение осуществляется в один этап. Напомню, что метод Гаусса делится на 2 этапа: прямой ход («делаем» нули под главной диагональю матрицы до черты) и обратный ход (обнуляем элементы над главной диагональю матрицы до черты). Для вычисления обратной матрицы методом Гаусса-Жордана двух стадий решения не потребуется. Для начала составим расширенную матрицу: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin{array} {ccc|ccc} 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Первый шаг

Обнулим все элементы первого столбца кроме одного. В первом столбце все элементы отличны от нуля, посему можем выбрать любой элемент. Возьмём, к примеру, $(-4)$:

Выбранный элемент $(-4)$ находится в третьей строке, посему именно третью строку мы используем для обнуления выделенных элементов первого столбца:

Сделаем так, чтобы первый элемент третьей строки стал равен единице. Для этого разделим элементы третьей строки расширенной матрицы на $(-4)$:

Теперь приступим к обнулению соответствующих элементов первого столбца:

В дальнейших шагах использовать третью строку уже будет нельзя, ибо мы её уже применили на первом шаге.

Второй шаг

Выберем некий не равный нулю элемент второго столбца и обнулим все остальные элементы второго столбца. Мы можем выбрать любой из двух элементов: $\frac{11}{2}$ или $\frac{39}{4}$. Элемент $\left(-\frac{5}{4} \right)$ выбрать нельзя, ибо он расположен в третьей строке, которую мы использовали на предыдущем шаге. Выберем элемент $\frac{11}{2}$, который находится в первой строке. Сделаем так, чтобы вместо $\frac{11}{2}$ в первой строке стала единица:

Теперь обнулим соответствующие элементы второго столбца:

В дальнейших рассуждениях первую строку использовать нельзя.

Третий шаг

Нужно обнулить все элементы третьего столбца кроме одного. Нам надо выбрать некий отличный от нуля элемент третьего столбца. Однако мы не можем взять $\frac{6}{11}$ или $\frac{13}{11}$, ибо эти элементы расположены в первой и третьей строках, которые мы использовали ранее. Выбор невелик: остаётся лишь элемент $\frac{2}{11}$, который находится во второй строке. Разделим все элементы второй строки на $\frac{2}{11}$:

Теперь обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

Преобразования по методу Гаусса-Жордана закончены. Осталось лишь сделать так, чтобы матрица до черты стала единичной. Для этого придется менять порядок строк. Для начала поменяем местами первую и третью строки:

$$ \left(\begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end{array} \right) $$

Теперь поменяем местами вторую и третью строки:

$$ \left(\begin{array} {ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ -39/4 & 11/2 & 19/4 \end{array} \right)$. Естественно, что решение можно провести и по-иному, выбирая элементы, стоящие на главной диагонали. Обычно именно так и поступают, ибо в таком случае в конце решения не придется менять местами строки. Я привел предыдущее решение лишь с одной целью: показать, что выбор строки на каждом шаге не принципиален. Если выбирать на каждом шаге диагональные элементы, то решение станет таким.

Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Матрица "A" называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).

Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.

Схема вычисления обратной матрицы:

1) Вычислить определитель матрицы "A", если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.

2) Найти все алгебраические дополнения матрицы "A".

3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )

4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T

5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.

6) Выполнить проверку:

На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками "-" и "+", и не терять их.

А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.

Задание: найти обратную матрицу "A", представленную на картинке ниже:

Решаем всё в точности так, как это указано в план-схеме вычисления обратной матрицы.

1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы "A":

Пояснение:

Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.

Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.

В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.

У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.

А11 = 1*(3+1) = 4

А12 = -1*(9+2) = -11

А13 = 1*1 = 1

А21 = -1*(-6) = 6

А22 = 1*(3-0) = 3

А23 = -1*(1+4) = -5

А31 = 1*2 = 2

А32 = -1*(-1) = -1

А33 = 1+(1+6) = 7

3. Следующий шаг - составление матрицы из получившихся дополнений:

5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:

6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:

В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.

2 способ вычисления обратной матрицы.

1. Элементарное преобразование матриц

2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.

Элементарное преобразование матриц включает:

1. Умножение строки на число, не равное нулю.

2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.

3. Перемена местами строк матрицы.

4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.

А-1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A-1 )

2. A-1 * A = E

Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.

Задание: Найти обратную матрицу.

Решение:

Выполним проверку:

Небольшое разъяснение по решению:

Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).

После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.

Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица - это матрица справа.

После проверки мы убедились в правильности решения.

Как вы видите, вычисление обратной матрицы - это очень просто.

В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.