Видеоурок «Нахождение числа по доле и числа по его части. Нахождение числа по его части.docx - Нахождение числа по его части

1) Тема урока:

«Нахождение части от числа и числа по его части»

Цель урока : формирование у учащихся умения решать задачи на нахождение части числа и числа по его части.

Отработка вычислительных навыков учащихся.

Воспитание у учащихся чувства ответственности за порученное дело.

Оборудование: компьютер

ХОД УРОКА

I . ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Проверка готовности учащихся к работе.

II. УСТНАЯ РАБОТА

Учитель . Мы начали изучать новую большую тему «Обыкновенные дроби».

· Какое число называется дробью?

· Приведите пример дроби, назовите ее числитель и знаменатель.

· Что показывает знаменатель дроби?

· Что показывает числитель дроби?

· Сформулируйте основное свойство дроби.

· Что называется сокращением дроби?

Обратите внимание на экран. Некоторые задания будут продемонстрированы на слайдах.

Задание 1 . Сократите следующие дроби.

4 9 7 8 4 3 10 6 2 11 4 10

6 " 15 " 14 " 14 " 9 " 9 " 50 " 9 " 4 " 44 " 8 " 15 "

5 4

Как называется последняя дробь?

Какая дробь называется несократимой?

Задание 2 . Решите следующие задачи.

1.Винтик и Шпунтик собрали новый автомобиль за 15 дней. Какую часть автомобиля они собирали за один день?

2.Незнайка решил совершить за день 10 хороших поступков. Но, к сожалению, ему удалось сделать лишь 1 - часть того, что он запланировал. Сколько хороших

поступков совершил Незнайка за день?

3.Знайка прочитал за день 1 часть книги. Сколь­ко дней потребуется Знайке на чтение

всей интерес­ной книги?

III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Учитель. Обратите внимание на экран. Эпиграфом к этому уроку будут слова

Д. Пойа: «Умение решать задачи - практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано: научиться этому мож­но, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь». На этом уроке мы будем заниматься практическим искусством - учиться находить часть числа и число по его части. Прежде чем приступить к изучению новой темы, повторим написание некото­рых математических терминов.

Задание 1 . Запишите в тетрадях следующие слова и словосочетания в столбик одно под другим (один ученик пишет на доске):

ЧИСЛИТЕЛЬ

ЧАСТЬ ЧИСЛА

Теперь проверьте правильность написания слов на доске с написанием, которое перед вами на экране. В случае необходимости исправьте ошибки.

При изучении новой темы мы должны установить связь между этими понятиями. В ходе устной работы вы решали задачи про Незнайку и его друзей.

Кто придумал этих замечательных персонажей?

[Н. Носов.]

Н. Носов написал еще одну интересную книгу, которая называется «Витя Малеев в школе и дома». Давайте и мы решим задачу, которую решал главный герой.

Прошу вашего внимания на экран. Попробуем устно решить задачу

Задача . Мальчик и девочка собирали в лесу оре­хи. Мальчик собрал в два раза больше орехов, чем девочка. Сколько орехов собрали мальчик и девочка в отдельности, если вместе они собрали 120 орехов?

Какую часть орехов собрала девочка? Какую часть орехов собрал мальчик?

Задание 2. Решите следующие задачи.

1. Девочка собрала 1 всех орехов. Сколько орехов собрала девочка, если всего

собрано 120 орехов?

2. Мальчик собрал 2 всех орехов. Сколько орехов собрал мальчик, если всего

собрали 120 орехов?

Решая эти задачи, мы искали часть числа. Сде­лайте вывод, как найти часть числа.

Вывод (делают учащиеся). Чтобы найти часть чис­ла, нужно число разделить на знаменатель дроби и умножить на числитель .

Учитель. Сформулировав это правило, мы связа­ли четыре математических термина

ЧИСЛИТЕЛЬ

ЧАСТЬ ЧИСЛА

Задание 3. Решите задачи на нахождение части числа.

1. Мама купила 6 килограммов конфет. Витя сразу же съел 2 всех конфет и ему

стало плохо. После какого количества съеденных конфет у Вити разбо­лелся живот?

2. В курятнике было 40 кур. За неделю лиса утащила 3 всех кур. Сколько кур

утащила лиса?

Задание 4. Решите следующие «обратные» задачи.

1. Девочка собрала 40 орехов, что составляет 1 всех орехов. Сколько орехов

было собрано?

2. Мальчик собрал 80 орехов, что составляет 2 всех собранных орехов.

Сколько орехов было собрано?

Сделайте вывод, как найти число по его части.

Вывод ( делают учащиеся). Чтобы найти число по его части, нужно часть числа разделить на числитель дроби и умножить на знаменатель.

Учитель . Сформулировав это правило, мы снова связали четыре математических термина:

ЧИСЛИТЕЛЬ

ЧАСТЬ ЧИСЛА

Эта запись будет служить опорой при решении за­дач на нахождение части числа и числа по его части.

Задание 5 . Решите задачи на нахождение числа по его части.

1. Алиса упала в сказочный колодец и за первую минуту пролеметров. Какова глубина колод­ца, если за первую минуту Алиса пролетела 3 всего расстояния?

2.Мачеха перед балом задала Золушке много работы. Чтобы выполнить 3 этой

работы, Золушке понадобилось 6 часов. За какое время Золушка выполнит всю работу?

III. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

№ 000(а, б), 785(а, б), 783.

По окончании работы проводится проверка пра­вильности решения задач, обсуждаются ход решения и ответы.

IV. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

Учитель. Чему вы научились сегодня на уроке?

· Как найти часть числа по его дроби?

· Как найти число по его части?

· Решите устно следующую задачу.

Шел отряд солдат: десять рядов по семь солдат в ряд.

8 их было усатых. Сколько там было усатых солдат? Сколько там было безусых

4 их было носатых. Сколько там было носатых солдат? Сколько там было

курносых солдат?

V . ЗАДАНИЕ НА ДОМ: Придумайте, запишите и решите две задачи по теме.

2) Тема урока: теорема Виета.

Образовательные цели урока:

1. Повторить формулы корней неполных квадратных уравнений.

2. Сформировать у учащихся умение применять теорему Виета при решении квадратных уравнений.

Воспитательные цели урока:

1. Способствовать выработке у школьников желания и потребности, изучаемых фактов.

2. Воспитывать самостоятельность и творчество.

Развивающие цели урока:

1. Развивать и совершенствовать умение применять, имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации.

2. Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

Метод ведения урока:

1. Беседа.

2. Мини-диалог.

3. Самостоятельная работа.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная проверка домашнего задания № 000 (в, д), 544 (б), 546 (в).

3. Повторение пройденного материала.

(Два ученика работают с таблицей у доски.) Задание: заполнить пустые места в таблице.

(Остальная часть класса разгадывает кроссворд, используя теоретические знания)

Задание: если вписать верные слова, то в выделенной строке получится фамилия французского математика

1. Квадратное уравнение с

первым коэффициентом

равным 1. (приведенная)

2. Подкоренное выражение

в формуле корней. (дискриминант)

квадратного уравнения.

3. Один из видов

квадратного уравнения. (неполное)

4. a , b в квадратном уравнении.

(коэффициенты)

В выделенной строке получится фамилия французского математика Виета.

Историческая справка (сообщение учащегося о жизни и деятельности математика Франсуа Виета).

Цель: Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое - что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения? (из коэффициентов a , b , c )

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений. (проверяем заполнение учащимися таблицы)

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. (Учащийся от каждого ряда решает задание на доске, а остальные выполняют задание в тетради.)

Задание. Решить уравнение.

x2 - x - 6=0

4(3x + 3) =2(1 - x2)

2x2 + 12x + 10 = 0

x 2 + 6 x + 5 = 0

x 2 - 6 x + 8 = 0

Дополнительно

(x - 1)(x + 2) + 3x = 10

x2 + x - 2 + 3x - 10 = 0

x 2 + 4 x - 12 = 0

Как называются квадратные уравнения, после алгебраических преобразований? (приведённые)

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Задание. Заполнить пропуски в таблице

Уравнение

x 1

x 2

x 1 + x 2

x 1 x 2

x 2 – x – 6 = 0

x 2 + 6 x + 5 = 0

x 2 – 6 x + 8 = 0

x 2 + 4 x –12 = 0

Помогла ли вам эта таблица в раскрытии новых связей между корнями и коэффициентами квадратных уравнений. Выскажите гипотезу, утверждение (учащиеся делают выводы). Сравните сформулированную вами гипотезу с теоремой, записанной в учебнике на стр. 121.

Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Прочитать доказательство самостоятельно)

Теорема называется теоремой Виета, по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета ().

Свою знаменитую теорему он доказал в 1591 году.

Задание. Используя теорему Виета, заполните пропуски в формулах.

Уравнение

Сумма корней

Произведение корней

x 2 – 5 x – 6 = 0

x 2 – 3 x + = 0

x 2 + x + 1 = 0

x 2 + x + = 0

Теорему Виета можно использовать для проверки, найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим задания из домашней работы № 000.

в) y 2 = 4 y + 96 д) x 2 – 20 x = 20 x + 100

y 2 – 4 y – 96 = 0 x 2 – 40 x – 100 = 0

y 1 = – 8 y 2 = 12

По теореме Виета:

Проверяем:

Применима ли теорема Виета для квадратного уравнения в общем виде? (Да, если заменить это уравнение равносильным ему приведённым уравнением.)

ax 2 + bx + c = 0

; если x1 и x2 – корни данного уравнения, то по теореме Виета:

Сформулируйте утверждение для квадратного уравнения в общем виде.

Теорема: Если корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0 существуют, то сумма корней равна , а произведение корней .

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова.

В числителе c , в знаменателе a ,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда,

В числителе b , в знаменателе a .

Задание № 000. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения.

Уравнение

Сумма корней

Произведение корней

а) x 2 – 37 x + 27 = 0

б) y2 + 41y – 371 = 0

в) x 2 – 210 x = 0

г) y 2 – 19 = 0

д) 2 x 2 – 9 x – 10 = 0

е) 5 x 2 + 12 x + 7 = 0

ж) – z 2 + z = 0

з) 3 x 2 – 10 = 0

Устно: Не решая данного уравнения, определите какие числа являются корнями уравнения.

x 2 – 5 x + 4 = 0 –1 и –4

x 2 + 5 x + 4 = 0 –1 и 4

x 2 – 3 x – 4 = 0 1 и 4

x 2 + 3 x – 4 = 0 1 и –4

В некоторых случаях корни уравнения можно найти подбором. Подбор корней значительно облегчает, если известны зависимости между корнями и коэффициентами уравнения. Формулы, выражающие эти зависимости, отражены в теореме Виета.

Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема. Если действительные числа x1 и x2 таковы, что x 1 + x 2 = – p и x 1 x 2 = q , то эти числа являются корнями квадратного уравнения x 2 + px + q = 0.

Но чаще эту теорему используют для нахождения корней методом подбора.

Учащиеся решают задание № 000, используя данную теорему.

Итог урока:

1. С какими теоремами вы познакомились сегодня на уроке.

2. В каких ситуациях может быть применима теорема Виета и ей обратная теорема.

Домашнее задание: п. 23 № 000, 577, 58

3) Урок алгебры (пресс-конференция)

Тема:

Формулы сокращенного умножения
(Повторение и обобщение пройденного материала)

Цель:

в ходе дидактической игры создать условия для проявления личностных функций учащихся.

Задачи:

1. систематизировать и обобщить знания по теме "Формулы сокращенного умножения";

2. продолжить формирование познавательной активности;

3. поиск своей альтернативы;

4. выражение своего выбора решения задачи

Ход урока

Вступление.
Учитель: Сегодня ваш класс - научно-исследовательский институт. Вы - ученики - сотрудники этого института. На урок пришли корреспонденты различных изданий, которые хотят получить ответы на интересующие их вопросы. Успех пресс-конференции зависит от каждого сотрудника института. Разминка.
Учитель: Чтобы ознакомить наших гостей с тем, как работает наш институт над изучением и применением формул, предлагаю решить задачу:

Имеются четыре ящика и карточки с алгебраическими выражениями. Установите принцип соответствия между карточками и ящиками и разложите карточки по ящикам.

(a±b)·(a2±2ab+b2)

a3±3a2b+3ab2±b3

1) (-a-b)2
2) -(a+b)2

3) (b+a)2
4) a2-b2

5) a2+b2
6) (b-a)2

7) (b+a)3
8) (-b+a)3

9) -(a-b)3
10) a3+b3

11) a3-b3
12) -(a3-b3)

Интервью с "корреспондентами" журналов. Корреспондент журнала "Квант" .

Вы знаете много формул сокращенного умножения. Объясните, для чего они нужны и в каких случаях вы их применяете. В редакцию нашего журнала пришло письмо от ученика 7-го класса Юры Грошева. Он убедительно просит помочь разложить на множители многочлен a3+a2b-ab2-b3 разными способами.
(Решение задачи с помощью идеи).

К доске выходят три ученика, которые выполняют это задание разными способами; классу предлагается выбрать понравившийся способ решения.

Решить уравнение: 16x2-(4x-5)2=15 двумя способами. (Предложите свои способы решения уравнения).

Корреспондент журнала "Наука и техника"

Межпланетная станция, запущенная для изучения планеты Марс, произвела фотосъемку ее поверхности, побывала на ней, взяла пробу грунта и вернулась на Землю. Вместе с пробами ученые обнаружили кусок твердосплава с таинственными обозначениями. Журнал поместил эти обозначения на своих страницах, и читатели хотят знать, что они означают. Просим помочь редакции ответить на их вопрос вопрос. (5+)=++81 472-372=(47-)·(+37) (-3)·(+3)=а2- 612=3600++292+2·71·29=(+)2=2

Корреспондент журнала "Человек и закон"

Преступники украли в банке большую сумму денег. Их поймали, но похищенную сумму установить не удалось. Преступники категорически отказываются назвать ее, утверждая, что записали это число в виде степени и зашифровали не только основание, но и ее показатель. Экспертам удалось узнать основание степени - 597. Но ответить на вопрос, какая степень была задана. они не могут. Затем преступники записали уравнения:

(2y+1)2-4y2=5
4y2+4y+1-4y2=5
4y=5-1
4y=4
y=4/4
y=1

(x-5)2-x2+8=3
x2-10x+25-x+8=3
-10x+33=3
-10x=-30
x=-30:(-10)
x=3

Какие формулы применялись при решении уравнений?
И, кроме того, выражение (a-1)·(a2+1)·(a+1)-(a2-1)2-2·(a2-3)+1 , которое нужно упростить. Теперь, применяя алфавит как шифр, можно прочитать показатель степени.

Найдите показатель степени и возведите в него удобным способом число 597
5972=(600-3)2=+9=356409

Корреспондент газеты "День за днем"

В редакцию газеты пришло письмо от Саши Петрова с просьбой опубликовать его. Саша считает: чтобы "целое число с половиной" возвести в квадрат, нужно умножить это целое число на соседнее, большее число, и к результату приписать 1/4.
Например, (71/2)=561/4; (81/2)=721/4.
Быстро и просто.
Но редакция газеты считает, что нужно проконсультироваться со специалистами. Как вы думаете, можно ли доказать это утверждение?
(к доске приглашаются два ученика, которые доказывают это утверждение разными способами).

Корреспондент газеты "Семья"

Я подбираю материалы для страницы "Изюминки". Уважаемые сотрудники научно-исследовательского института, подскажите, как лучше выполнить следующее задание: сравните, что больше: 361 или 35·37?

Подведение итогов урока.
Учитель. Подошла к концу наша пресс-конференция. Корреспонденты газет и журналов, получив ответы на вопросы, интересующие читателей, оформят их в виде заметок и опубликуют на страницах своих изданий.
Вам, уважаемые сотрудники, научный совет поручает вывести формулы:
(a+b)4 и (a+b+c)2 Спасибо всем участникам игры. И в заключение мне хотелось бы знать, какое впечатление произвела на вас игра, какие трудности в игре вы испытали сегодня? (рефлексия)

4) Тема урока: Теорема Пифагора

Цель: Показать исторические истоки теоремы.

Учить учащихся применять полученные знания к решению прикладных задач.

Учить воспринимать материал в целостной системе различных предметов.

Воспитывать познавательный интерес к изучению геометрии.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания.

3. Устное решение задач. (слайд 2)

1.Найдите площадь квадрата со стороной

3 см; 1,2 мм; 5\7 м; а см.

2. Найдите площадь прямоугольного

треугольника с катетами 3 см и 4 см;

2,2 м и 5 см; а см и в см.

4. Актуализация опорных знаний учащихся.

Особое место в геометрии, особую роль играет прямоугольный треугольник, соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. На протяжении нескольких уроков мы изучали с вами этот материал и сегодня наша цель обобщить полученные знания, изучив теорему Пифагора. К вопросу обобщения мы подойдём многосторонне: как историки, лирики, теоретики и практики.

5. Объяснение нового материала.

Биография Пифагора (Показ 3 слайда).

Пифагор родился около 570 г. до н. э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням . Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора называют имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора).

Из истории создания теоремы (4 слайд).

Пифагор очень много сделал для развития науки, но начал он свой путь совсем не как ученый, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!

Одно из самых замечательных утверждений - это теорема Пифагора. с2= a2+b2
Как додумался Пифагор, никаких сведений нет. Возможно, он начертил прутиком на песке, ведь пифагорейцы часто гуляли и на прогулках занимались наукой. Согласно легенде, в знак благодарности он принес богам в жертву 100 быков. И в легендах говорится, что, когда открывается что-то новое, вся скотина на земле дрожит от страха.
Возможно, Пифагор собрал всех математиков и рассказал о своем открытии. Об этом повествует одна из глиняных табличек. В ней есть только задачи, а никаких выводов нет. Но в индийских рукописях сохранился чертеж и слово "теорема", которое происходит от греческого слова "теорио" - рассматриваю

Теорема Пифагора (5 слайд)

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем .

Теорема Пифагора (6 слайд)

В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Существует более 100 доказательств знаменитой теоремы Пифагора, которая и сейчас будоражит умы ученых.

Рассмотрим некоторые из них .

Доказательство теоремы Пифагора (7 слайд)

Пусть Т- прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с . Докажем, что с2=а2+в2 Построим квадратQ со стороной а+в. Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S (Q )= S (P )+4 S (T ) .

Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 и

S(T)=1/2(ab), то (a+b)2=c2+4*(1/2)ab или

а2+ b 2 +2 ab = c 2 +2 ab и с2=а2+в2.

Демонстрация 8 слайда

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников и убедиться в справедливости теоремы. Например, для Ù ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана.

Демонстрация 9 слайда

«Пифагоровы штаны во все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать», - так поется в одной шутливой песенке. Эти «штаны » показаны на рисунке, где на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. А сам рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида «Начала»и был положен ее автором в основу доказательства теоремы Пифагора.

2 Устная работа.

Проведем математическую разминку, которая поможет нам вспомнить определения (слайд 5).

1) Медиана в равнобедренном треугольнике является….

2) Биссектриса в равнобедренном треугольнике является….

1) Треугольник, у которого все стороны равны называется ……….?

2) Треугольник, у которого две стороны равны называется ………..?

3) Треугольник, у которого один из углов прямой называется ……..? Проверим, правильно ли вы ответили на вопросы (слайд 6).

3 Самостоятельная работа (10 мин)

Дан треугольник АВС - равнобедренный, треугольник ВСД - равносторонний. Периметр треугольника АВС равен 40 см, периметр ВСД равен 45 см. Найти АВ и ВС (слайд 7).

Проверим решение задачи (слайд 8)

1)Так как ∆ ВСД является равносторонним, то ВД=ВС=СД=45:3=15см.

2)Так как ∆ АВС - равнобедренный, то АВ=АС=(40-15):2=12,5см.

Ответ: АВ=12,5см, ВС=15см.

4.Математический тест. (Выбери правильный ответ) (слайд 9)

1)Сколько высот имеет треугольник?

2)В равнобедренном треугольнике углы при основании

а) не равны б) равны

3) Углы равностороннего треугольника равны

а) 60° б)45°

5.Игровой момент (слайд 10)

Игра «Соображайка» (Кто быстрее сосчитает количество треугольников на данном рисунке)

Сколько треугольников изображено на рисунке? (ответ 16)

6.Устный опрос. (слайд 11)

Задача: В прямоугольном треугольнике АВС, один из острых углов равен 30°. Найдите другие углы.

7.Итоги урока.

Домашнее задание: №44(а), №47

Содержимое:

Нахождение дроби от числа равнозначно умножению числа на дробь. Описанный метод применим к любому числу (процентам, обыкновенным дробям, смешанным числам, десятичным дробям), но лучше пользоваться им при работе с целыми числами. Чтобы освоить описанный метод, нужно знать операции и.

Шаги

Часть 1 Умножение числа на дробь

1. 1 Запишите задачу. Если в задаче числа представлены словами, запишите их цифрами. Если же в задаче даются цифры, пропустите этот шаг.
   • Например: найдите одну третью от семи?
   • Если в задаче между двумя числами стоит предлог «от», нужно перемножить эти числа. Таким образом, в нашем примере одну третью нужно умножить на семь.
   • Запишите это так: (1 / 3) x 7.
2. 2 Целое число умножьте на числитель. Работая с целым числом, всегда умножайте его на числитель (верхнее число) дроби. Знаменатель не меняется на протяжении всего процесса умножения.
   • В нашем примере: (1 / 3) x 7 = 7 / 3 .
3. 3 Полученный результат разделите на знаменатель. Результат умножения разделите на знаменатель (нижнее число) дроби. На данном этапе, то есть числитель больше знаменателя, или дробь нужно просто.
   • В нашем примере после перемножения числа и дроби получилась дробь 7 / 3 . Семь на три не делится нацело, поэтому получится остаток: 7/3 = 2 с остатком 1. Таким образом, в результате получится смешанное число: 2 1 / 3

Часть 2 Упрощение результата

1. 1 Упростите неправильную дробь. Это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Перед тем как написать окончательный ответ, обязательно упростите неправильную дробь, то есть преобразуйте ее в смешанное число. Для этого разделите числитель на знаменатель, а остаток запишите в числителе новой дроби.
   • Например: 10 / 3
   • Разделите: 10/3 = 9 с остатком 1.
   • Остаток запишите в числителе новой дроби (знаменатель не меняется): 1 / 3
2. 2 Запишите. Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Это упрощенная форма неправильной дроби. Чтобы записать смешанное число, рядом напишите целое число и дробь, которая получена из остатка.
   • Например: 10 / 3 . Разделите 10 на 3: 10/3 = 3 с остатком 1. Смешанное число: 3 1 / 3 .
3. 3 Сократите дробь до наименьших значений числителя и знаменателя. Выполнив умножение, сократите дробь. Для этого разделите числитель и знаменатель на некоторый общий делитель.
   • Например, сократите дробь 4 / 8 . Разделите числитель и знаменатель на 4: 4 / 8 = 1 / 2 .

В процессе решения задач 149–156 надо подвести учащихся к пониманию правила нахождения части числа:

Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на ее числитель.

Разумеется, это правило учащиеся могут формулировать лишь для конкретных ситуаций: чтобы найти 3 / 4 числа 24, можно это число разделить на знаменатель дроби 4 и полученный результат умножить на числитель 3.

149 . а) На ветке сидели 12 птиц; 2 / 3 их числа улетели. Сколько птиц улетело?

б) В классе 32 учащихся; 3 / 4 всех учащихся каталось на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах?

150 . а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км . В первый день они проехали 2 / 3 всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?

б) Некто, имея 350 рублей, потратил 5 / 7 своих денег. Сколько денег у него осталось?

в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала 5 / 8 числа всех страниц тетради. Сколько осталось неисписанных страниц?

151 . Старинная задача . Купивши комод за 36 р. , я потом вынужден был продать его за 7 / 12 цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?

152 . Автотуристы за три дня проехали 360 км ; в первый день они проехали 2 / 5 , а во второй день - 3 / 8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

153 . 1) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет 3 / 8 числа девочек. Сколько учащихся занимается в драмкружке?

2) В коллекции имеется 45 юбилейных рублевых монет. Число 3-х и 5-ти рублевых монет составляет 2 / 9 числа рублевых монет. Сколько всего юбилейных монет в 1, 3 и 5 рублей в коллекции?

Задачи 154–156 учащиеся должны решать, находя сначала указанную часть величины, а потом увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть. Другой способ решения будет показан позже.

154 . 1) Уменьшите 90 рублей на 1 / 10 этой суммы.

2) Увеличьте 80 рублей на 2/5 этой суммы.

155 . В прошлом месяце цена товара составляла 90 р. Теперь она понизилась на 3 / 10 этой суммы. Какова теперь цена товара?

156 . В прошлом месяце зарплата составляла 400 р. Теперь она увеличилась на 2 / 5 этой суммы. Какова теперь зарплата?

В процессе решения задач 157–158 и следующих задач нужно подвести учащихся к пониманию и правильному применению правила нахождения числа по его части:

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и полученный результат умножить на ее знаменатель.

Формулировка этого правила сложна из-за необходимости
как-то называть число, которое у нас названо « частью» . Эту трудность вынуждены обходить и авторы учебников. Так в учебнике И.В. Барановой и З.Г. Борчуговой правило формулируется лишь для конкретных случаев: чтобы найти число, 3 / 5 которого составляют 90 км, надо 90 км разделить на числитель дроби 3 и полученный результат умножить на знаменатель дроби 5.

Именно в таком виде им могут пользоваться учащиеся. Правда, говоря о числе, лучше не использовать наименований, так как число и величина не одно и то же. Позднее в том же учебнике на с. 226 формулируется общее правило, в котором применяемому нами термину « часть» соответствует оборот « число, ей соответствующее» , что вряд ли проще .

157 . а) 120 р. составляют 3 / 4 имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?

б) Определите длину отрезка, 3 / 5 которого равны 15 см.

158 . а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет 2 / 7 возраста отца. Сколько лет отцу?

б) Дочери 12 лет. Ее возраст составляет 2 / 5 возраста матери. Сколько лет матери?

На покупку овощей хозяйка израсходовала 6 р. , что составило 1 / 6 имевшихся у нее денег. Затем она купила 2 кг яблок по 7 р. за килограмм. Сколько денег у нее осталось после этих покупок?

160 . Отец купил сыну костюм за 24 р. , на что израсходовал 1 / 3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги?

161 . Сыну 8 лет, его возраст составляет 2 / 9 возраста отца. А возраст отца составляет 3 / 5 возрастадедушки. Сколько лет дедушке?

162 .* Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 г. до н. э.).

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

Я привожу две трети от трети скота. Сочти!

Сколько быков в стаде?

Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти, например, пятую часть от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:

• Поскольку нам необходимо найти пятую часть от числа, то мы ищем 1/5 от числа a.
• Чтобы найти 1/5 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/5 = a/5. То есть пятая часть от числа a - это a/5.
• При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.

Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, десятую часть от числа a, то надо a * 1/10 = a/10. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8.
Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
Рассмотрим конкретный пример для ещё большего запоминания решения.

Как найти шестую часть от числа 36

Нам дано целое - число 36. Нам необходимо найти от него шестую часть, иначе - необходимо найти 1/6 от числа 36. Выполним действие умножение целого на часть: 36 * 1/6 = 6. Значит шестая часть от числа 36 - это число 6. Можно еще сказать следующее: число 36 ровно в шесть раз больше числа 6, или число 6 ровно в шесть раз меньше числа 36.

Для нахождения части любого числа его следует разделить на размер этой самой части. Действия при этом будут различаться в зависимости от формы записи дроби;

С обыкновенной дробью:

Если числитель обыкновенной дроби без остатка делится на заданный размер части, то достаточно просто разделить числитель на этот заданный размер;

Если же числитель нельзя без остатка разделить на заданную часть, то надо знаменатель умножить на размер этой части; С смешанной дробью: Проделываем тоже самое, как и с обыкновенной дробью, но только вначале нужно преобразовать смешанную дробь в обыкновенную. С десятичной дробью: Вычисление будет состоять из единственной операции деления. Десятичную дробь можно разделить на заданный размер части в столбик.

§ 1 Нахождение числа по его доле

Рассмотрим такую задачу. Конфеты разложили в 6 пакетов. Каждый пакет весит 250 грамм. Сколько грамм весят все конфеты?

Из условия задачи известно, что целое разделили на 6 равных долей. Одна доля 1/6 весит 250 грамм. Чтобы найти вес всех конфет, необходимо вес 250 одной доли умножить на количество долей 6:

250 · 6 = 1500 грамм весят все конфеты.

Можем сделать вывод:

Чтобы найти неизвестное число А, можно его долю B =1/n умножить на n:A = B · n.

§ 2 Нахождение числа по его части

Рассмотрим еще одну задачу. Конфеты разложили в 7 пакетов. 3/7 всех конфет весят 390 грамм. Сколько грамм весят все конфеты?

Из условия задачи известно, что целое разделили на 7 равных долей. 3 доли весят 390 грамм. 3/7 = 390. Для того чтобы найти вес всех конфет, необходимо в первую очередь найти вес одной доли 390: 3, а затем умножить вес одной доли на количество всех долей 390: 3 · 7. Или 390 разделить на 3 числитель дроби 3/7 и умножить на ее знаменатель 7,

390: 3 · 7 = 910 грамм весят все конфеты.

Можно сделать вывод:

Чтобы найти число А по его части B =m/n, можно эту часть В разделить на числитель m и умножить на знаменатель n:A = B: m · n.

§ 3 Решение задачи по теме урока

Опираясь на полученные знания, решим задачу.

Масса яблок составляет 25% от массы яблочного пирога и равна 225 грамм. Чему равна масса всего пирога?

25% = 25/100 = 225 грамм,

100% (весь пирог) = неизвестное число = ? грамм.

Значит, по правилу A = B: m · n масса всего пирога равна

225: 25 · 100 = 900 грамм.

§ 4 Краткие итоги урока

Подведем итоги нашего урока:

Для того чтобы найти неизвестное число А, можно его долю B =1/n умножить на n:A = B · n.

Для того чтобы найти число А по его части B = m/n, можно эту часть В разделить на числитель m и умножить на знаменатель n:A = B: m · n.

Список использованной литературы:

1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
2. Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
3. Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
4. CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 1 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювент, 2013.