U-критерий Манна-Уитни

По уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна - Уитни - Уилкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW ), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test ) или критерий Уилкоксона - Манна - Уитни (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test ).

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном (F. Wilcoxon ). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Х. Б. Манном (H. B. Mann ) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney ), по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума .

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна - Уитни нужно произвести следующие операции.

Автоматический расчет U-критерия Манна - Уитни

Таблица критических значений

См. также

• Критерий Краскела - Уоллиса - многомерное обобщение U-критерия Манна - Уитни.

Литература

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. - 1947. - № 18. - P. 50-60.
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. - 1945. - P. 80-83.
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. - Л., 1973.
• Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. - С-Пб., 2002.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• U-954
• U-точка женщины

Смотреть что такое "U-критерий Манна - Уитни" в других словарях:

критерий Манна Уитни - — Тематики электросвязь, основные понятия EN Mann Whitney U test … Справочник технического переводчика

Критерий Манна-Уитни

Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

Критерий Манна-Уитни-Уилкоксона - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении … Википедия

U-критерий Манна - U критерий Манна Уитни (англ. Mann Whitney U test) статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять… … Википедия

U-критерий Манна-Уитни - (англ. Mann Whitney U test) непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми … Википедия

Критерий согласия Колмогорова - или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

Критерий Краскела - Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

Критерий Кохрена - Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

Критерий Вальда - (максиминный критерий) один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на … Википедия

В этой статье Вы узнаете, почему кроме t-теста существуют другие методы сравнения двух выборок. Начнем мы с того, что вспомним о нормальности данных и связанной с ней делением статистических тестов на две категории: параметрические и непараметрические. О последних мы поговорим более подробно: разберем три наиболее популярных теста, а также научимся их запускать в среде R.

Параметрический или непараметрический критерий различия?

Статистические методы, использующие параметры нормального распределения данных (среднее, стандартное отклонение и прочее) называются параметрическими . Так например, рассмотренный в предыдущей статье является типичным параметрическим методом. Почему? Потому, что главным условием для его проведения является нормальное распределение количественных данных. Непараметрические методы, напротив, не зависят от распределения данных и позволяют работать как с количественными, так и с порядковыми данными (например: размер обуви, шкала силы землетрясений).

При нормальном распределении данных параметрические критерии имеют большую мощность по сравнению с непараметрическими. Однако, когда данные выборок не проходят тесты нормальности (такие, как qqplot и Шапиро тест), непараметрические методы дают более точные предсказания. Особенно они эффективны с выборками небольшого размера (<100 наблюдений), на распределение которых могут влиять неизвестные факторы. Сегодня мы познакомимся с непараметрическими аналогами t-теста, использующимися также, для сравнения двух выборок. При выборе критерия следует обратить внимание на две вещи: зависимость данных выборок друг от друга и объем выборок.

На приведенном выше рисунке Вы видите упрощенную классификацию методов сравнения средних (или медиан) двух выборок. Мы кратко поговорим о каждом из непараметрических критериев, и научимся применять их в среде R. Чтож, приступим!

Критерий Уилкоксона

Начнем знакомство с непараметрических тестов для зависимых выборок. Прежде всего стоит отметить, что выборки называются зависимыми, когда испытуемые одной и той же группы были протестированы в разные моменты времени с меняющимися (1) или неменяющимися (2) условиями эксперимента. В первом случае проверяется эффект какого либо действия в сравнении с контрольным измерением ("до и после"), во втором - повторяемость результатов эксперимента ("контроль-повтор").

Тест Уилкоксона (от английского "Wilcoxon signed-rank test") является широко используемым и эффективным методом выявления различий между медианами двух зависимых выборок с распределением данных отличным от нормального. Он идеально подходит для сравнения маленьких выборок, где количество испытуемых/исследований больше 5, но меньше 50. Как и для всех критериев, рассмотренных в этой статье, данные могут быть как количественными, так и порядковыми. Метод был разработан в 1945 году американским статистиком и химиком Фрэнком Уилкоксоном (фото справа).

Чтобы запустить тест Уилкоксона в среде R следует загрузить данные выборок и ввести следующую команду:

wilcox.test("выборка_1", "выборка_2" , paired = T)

Как и в t-тесте, в непараметрических статистических тестах внутри скобок можно добавить дополнительные параметры, такие как alternative , conf.int , conf.level . Чтобы посмотреть все аргументы функции, поставьте перед ней знак вопроса, в нашем случае: ?wilcox.test

G-критерий знаков

Если же количество исследований в выборке больше 50, то следует использовать G-критерий знаков. Критерий знаков по статистической мощности уступает Уилкоксону, но превосходит большинство других непараметрических аналогов. Данные выборок должны быть зависимыми, количество исследований в выборке от 5, но не более 300 (про механизм расчетов и ограничения метода можно почитать ).

Провести тест в R не сложно, но потребуется сделать несколько манипуляций с данными. Сначала мы загрузим данные двух зависимых выборок, например систолическое (верхнее) давление до и после применения лекарства у 60 пациентов-гипертоников. Загрузим данные "before" и "after" в среду R. Затем визуализируем их.

before <- c(171.2, 169.8, 154.6, 130.9, 158.5, 145.5, 143.5, 144.7, 147.7, 160.7, 154.7, 181.8, 167.2, 137.4, 180.2, 138.7, 159.9, 141.8, 172.2, 167.0, 137.2, 170.9, 168.4, 163.7, 160.1, 163.5, 146.7, 173.9, 180.1, 136.0, 159.0, 145.6, 186.5, 177.7, 167.7, 167.4, 165.9, 147.2, 165.2, 133.3, 175.0, 174.7, 163.0, 154.1, 189.4, 166.5, 153.0, 134.3, 177.1, 150.4, 152.4, 176.2, 160.3, 135.3, 131.2, 172.1, 137.0, 156.6, 178.5, 168.1) after <- c(179.5, 141.9, 124.7, 103.2, 143.1, 146.0, 132.2, 104.9, 145.3, 123.5, 135.2, 176.2, 142.7, 114.1, 171.9, 115.0, 126.4, 108.0, 171.7, 148.8, 103.5, 178.5, 138.9, 150.0, 131.8, 169.2, 131.4, 138.8, 146.2, 116.1, 148.8, 109.2, 186.3, 164.1, 147.3, 165.3, 140.0, 122.6, 174.4, 104.6, 156.6, 175.3, 126.8, 122.6, 184.0, 139.6, 149.4, 105.3, 181.9, 134.6, 129.4, 148.0, 170.2, 144.2, 133.3, 171.8, 118.4, 131.2, 150.0, 131.0) boxplot(before, after, col = c(6,5), main = "The effect of treatment", outer = TRUE) axis(1, at=1:2, labels=c("before","after"))

Затем найдем разность между векторами "before" и "after" и назовем новый вектор "difference", после чего при помощи команды length узнаем его длину. Так как нас интересует, снижает ли лекарство давление у пациентов, мы узнаем какое количество элементов в векторе "difference" больше нуля. Это количество принято называть числом "успехов".

difference <- before - after difference length(difference) length(difference)

Теперь все готово для того, чтобы запустить G-критерий знаков в R. Для этого воспользуемся командой binom.test , где в параметрах функции укажем сначала число "успехов", затем число исследований в выборке.

binom.test(50, 60)

Нулевая гипотеза говорит о том, что медианы выборок статистически не отличаются, альтернативная - что статистические различия есть. В нашем случае p-value значительно меньше 0.05, поэтому мы можем с уверенностью отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативую: две выборки статистически отличаются друг от друга. Также мы видим, что у 83% пациентов давление снизилось. Для демонстрации статистической значимости результатов эксперимента, просто добавьте к графику надпись p-value < 0.001.

Критерий Манна-Уитни

Этот тест также был изначально разработан и опубликован Уилкоксоном в 1945 году. Однако спустя два года его существенно усовершенствовали два математика, в честь которых и был назван критерий. В отличие от двух предыдущих критериев, тест Манна-Уитни используется при сравнении двух независимых выборок , также имеющих отклонения от нормального распределения. Подробнее об алгоритме расчета данного критерия можете почитать в этой статье .

Запустить тест Манна-Уитни в R крайне просто, используем уже известную нам функцию "wilcox.test" и убираем из скобок "paired = T":

wilcox.test("выборка_1", "выборка_2" )

Однако при проведении этого метода необходимо соблюдать два условия. Во-первых, одинаковые значения в выборке должны быть сведены к минимуму (все числа должны быть разными). Во-вторых, в каждой выборке должно быть не менее трех исследований (минимум 3 и 3, также допускается 5 и 2).

Заключение

Непараметрических методов существует великое множество, сегодня мы познакомились лишь с тремя наиболее используемыми критериями для сравнения двух выборок. В среде R эти тесты запустить довольно просто, поэтому главный акцент в выборе метода следует делать на его пригодность к решению конкретно Вашей задачи.

U-критерий Манна-Уитни чаще всего используется при обработке результатов эмпирического исследования при написании курсовых, дипломных и магистерских работ по психологии.

U-критерий Манна-Уитни - непараметрический статистический критерий. Это означает, что его требования к группам и измеренным психологическим показателям минимальны:

1. Сравниваемые выборки не должны быть очень большими - не более 60 человек в каждой. Если группы большего объема, то лучше использовать t-критерий Стъюдента .
2. Минимальная численность групп ограничена 3-мя испытуемыми в каждой группе.
3. Численность сравниваемых групп может быть не одинаковой, но не должна очень сильно различаться.
4. Психологические показатели могут быть показателями психологических тестов, школьными оценками, экспертными оценки успешности профессиональной деятельности и т.п.

Как рассчитывается U-критерий Манна-Уитни

Не вдаваясь в математические тонкости, рассмотрим логику расчёта U-критерия Манна-Уитни.

Например, в результате тестирования были получены интегральные показатели осмысленности жизни замужних и незамужних женщин . Одной из задач дипломной работы ставится выявление различий осмысленности жизни у женщин, состоящих и не состоящих в браке. Выборки небольшие (по 30 человек), поэтому можно использовать U-критерий Манна-Уитни.

Процедура расчёта U-критерия Манна-Уитни в самом общем и приближенном виде выглядит следующим образом:

1. Показатели осмысленности жизни женщин обеих групп ранжируются (располагаются в порядке возрастания).
2. Оба упорядоченных ряда объединяются и вновь ранжируются.
3. Если в общем ранжированном ряду показателей осмысленности жизни показатели замужних и незамужних женщин чередуются или пересекаются, то различий, скорее всего, нет.
4. Возможно, что в общем ранжированном ряду показателей осмысленности жизни показатели замужних и незамужних женщин слабо пересекаются. Например, показатели незамужних женщин расположены в области низких показателей осмысленности жизни, а показатели замужних - в области высоких. В этом случае, скорее всего, различия в уровне осмысленности жизни в экспериментальной и контрольной группах есть - осмысленность жизни у замужних женщин выше, чем у незамужних.

При расчете U-критерия Манна-Уитни с помощью статистических программ выдается значение самого критерия и уровень статистической значимости различий выраженности психологического показателя. Эти показатели необходимо занести в таблицу и выделить те психологические показатели, уровень значимости различий которых в группах ниже, чем 0,05.

Пример расчета U-критерия Манна-Уитни вручную

В результате психодиагностического обследования групп мужчин и женщин (по 20 человек в каждой) были выявлены показатели внутреннего сопротивления при обращении в службу знакомств (в баллах):

• Мужчины: 45 67 45 67 88 67 56 67 78 56 45 67 89 56 4 56 74 57 89 67
• Женщины: 70 66 66 66 63 63 61 60 54 47 13 45 56 45 34 45 34 5 62 34

Критерий Манна-Уитни представляет непараметрическую альтернативу t -критерия для независимых выборок. Преимущество его состоит в том, что мы отказываемся от предположения нормальности распределения и одинаковых дисперсий. Необходимо, чтобы данные были измерены как минимум в порядковой шкале.

STATISTICA предполагает, что данные расположены тем же образом, что в и t -критерии для независимых выборок. Файл должен содержать кодовую (независимую) переменную, имеющую, по крайней мере, два разных кода для однозначной идентификации принадлежности каждого наблюдения к определенной группе.

Предположения и интерпретация. Критерий Манна-Уитни предполагает, что рассматриваемые переменные измерены, по крайней мере, в порядковой шкале (ранжированы). Интерпретация теста по существу похожа на интерпретацию результатов t -критерия для независимых выборок, за исключением того, что U критерий вычисляется, как сумма индикаторов попарного сравнения элементов первой выборки с элементами второй выборки. U критерий - наиболее мощная (чувствительная) непараметрическая альтернатива t-критерия для независимых выборок ; фактически, в некоторых случаях он имеет даже большую мощность, чем t -критерий.

Если объем выборки больше 20, то распределение выборки для U статистики быстро сходится к нормальному распределению (см. Siegel, 1956). Поэтому вместе с U статистикой будут показаны z значение (для нормального распределения и соответствующее p -значение.

Точные вероятности для малых выборок. Для выборок малого объема STATISTICA вычислит точную вероятность, связанную с соответствующей U статистикой. Эта вероятность основана на подсчете всех возможных значений U при заданном количестве наблюдений в двух выборках (см. Dinneen & Blakesley, 1973). Программа сообщит (в последнем столбце таблицы результатов) значение 2 * p, где p равно 1 минус кумулятивная (односторонняя) вероятность соответствующей U статистики. Заметим, что это обычно не приводит к большой недооценке статистической значимости соответствующих эффектов (см. Siegel, 1956).

Статистика критерия выглядит следующим образом.

где W - статистика Вилкоксона , предназначенная для проверки этой же гипотезы

в противном случае

Таким образом, статистика U считает общее число тех случаев, в которых элементы второй выборки превосходят элементы первой выборки. Если гипотеза верна, то

Критерий Манна-Уитни предполагает, что рассматриваемые переменные измерены, по крайней мере, в порядковой шкале (ранжированы). Интерпретация теста по существу похожа на интерпретацию результатов t -критерия для независимых выборок, за исключением того, что U критерий вычисляется, как сумма индикаторов попарного сравнения элементов первой выборки с элементами второй выборки. U критерий - наиболее мощная (чувствительная) непараметрическая альтернатива t -критерия для независимых выборок; фактически, в некоторых случаях он имеет даже большую мощность, чем t -критерий.

Если объем выборки больше 20, то распределение выборки для U статистики быстро сходится к нормальному распределению. Поэтому, вместе с U статистикой, будут показано z значение (для нормального распределения) и соответствующее p -значение.

Подробные инструкции по поводу того, как использовать критерий, вы можете найти дальше в части, касающейся примера применения.

Пример

Проверим гипотезу о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной и той же генеральной совокупности с помощью непараметрического U-критерия Манна-Уитни. Сравним результаты, полученные в примере Основные статистики и t-критерий Стьюдента для 2-го и 3-го столбцов таблицы по критерию Стьюдента, с результатами непараметрического сравнения.

Для расчета U-критерия Уилкоксона расположим варианты сравниваемых выборок в порядке возрастания в один обобщенный ряд и присвоим вариантам обобщенного ряда ранги от 1 до n1 + n2. Первая строка представляет собой варианты первой выборки, вторая - второй выборки, третья - соответствующие ранги в обобщенном ряду:

Надо обратить внимание, что если имеются одинаковые варианты, им присваивается средний ранг, однако значение последнего ранга должно быть равно n1 + n2 (в нашем случае 20). Это правило используют для проверки правильности ранжирования.

Отдельно для каждой выборки рассчитываем суммы рангов их вариант R1 и R2. В нашем случае:

R1 = 1 + 2,5 + 2,5 + 5 + 5 + 9 + 9 + 9 + 12 + 14 = 69

R2 = 5 + 9 + 9 + 14 + 14 + 17 + 17 +17 + 19,5 + 19,5 = 141

Для проверки правильности вычислений можно воспользоваться другим правилом: R1 + R2 = 0,5 * (n1 + n2) * (n1 + n2 + 1). В нашем случае R1 + R2 = 210.

Статистика U1 = 69 - 10*11/2 = 14; U2 = 141 - 10*11/2 = 86.

Для проверки одностороннего критерия выбираем минимальную статистику U1 = 14 и сравниваем ее с критическим значением для n1 = n2 = 10 и уровня значимости 1%, равным 19.

Так как вычисленное значение критерия меньше табличного, нулевая гипотеза отвергается на выбранном уровне значимости, и различия между выборками признаются статистически значимыми. Таким образом, вывод о существовании различий, сделанный с помощью параметрического критерия Cтьюдента, подтверждается с помощью данного непараметрического метода.

где
,

7. Определить критическое значение -критерия (см. прил., табл. А3).

8. Сравнить расчетное и критическое значение -критерия. Если расчетное значе­ние больше или равно критическому, то гипотеза
равенства средних значений в двух выборках изменений отвергается. Во всех других случаях она прини­мается на заданном уровне значимости.

Лекция 4. Критерии для непараметрических распределений

4.1. -Критерий Манна-Уитни

Назначение критерия. Критерий предназначен для оценки различии между двумя непараметрическими вы­борками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда

Описание критерия

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия и отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому, чем меньше
тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем, красным, а все карточки из выборки 2 – другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степеням нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы была одна большая выборка.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг.

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие – в другой.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить по формуле значение

,

где
количество испытуемых в выборке 1;
количество испытуемых в выборке 2;
большая из двух ранговых сумм;
количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения . Если
то

гипотеза
принимается. Если
то отвергается. Чем меньше

значения , тем достоверность различий выше.

Пример. Сравнить эффективность двух методов обучения в двух группах. Результаты испытаний представлены в таблице 4.

Таблица 4

Перенесем все данные в другую таблицу, выделив данные второй группы, подчеркиваем и делаем ранжирование общей выборки (см. алгоритм ранжирования в методических указаниях к заданию).

Значения

Найдем сумму рангов двух выборок и выберем большую из них:

Рассчитаем эмпирическое значение критерия по формуле (3)

Определим критическое значение критерия при уровне значи­мости
(см. прил. табл. А1)

Вывод: так как расчетное значение критерия больше критического при уровне зна­чимости
и
, гипотеза о равенстве средних принимается, различия в методиках обучения будут несущественны.