Бифуркация

Бифуркация берёт свои корни от латинского слова bifurcus -- раздвоенный применяется для обозначения различных процессов в различных научных сферах. Прелесть сложных систем - их динамическое поведение, постоянное развитие. Чтобы система развивалась, необходим переход из одного состояния в другое. Сам переход называется бифуркацией. Этот термин был введён для обозначения подобного процесса Л.Пуанкаре. Несмотря на широкую область использования данного термина, фактически он описывает один и тот же процесс. При вольном обобщении различных источников получается такое определение: бифуркация - это процесс, когда система двигается в устойчивом состоянии и в какой-то точке её состояние становится неустойчивым, в следствие чего она продолжает развитие не по старой траектории, а по двум новым. Графически это выглядит так.

График показывает, что в процессе развития системы во времени(t), в определённой точке, обозначенной как точка бифуркации, система, вместо одного устойчивого состояния приобретает два новых устойчивых состояния, и далее этот процесс как правило повторяется. Существует масса различных примеров бифуркации: бифуркация рек -- разделение русла реки и её долины на две ветви, которые в дальнейшем не сливаются и впадают в различные бассейны; в медицине -- разделение трубчатого органа (сосуда или бронха) на 2 ветви одинакового калибра, отходящие в стороны под одинаковыми углами; механическая бифуркация -- приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров; разделение старших классов учебного заведения на два отделения; бифуркация времени-пространства (в научной фантастике) -- разделение времени на несколько потоков, в каждом из которых происходят свои события. В параллельном времени-пространстве у героев бывают разные жизни.

Пожалуй, пора перейти к классификации бифуркаций, и затем и к теории катастроф.

Бифуркации классифицируются на мягкие и жёсткие .

Мягкая бифуркация - это переход из одного устойчивого состояния в другое, при том что новое устойчивое состояние находится в непосредственной близости от исходного. Т.е. качественно не имеет сильно заметных существенных различий.

Жёсткая бифуркация - это бифуркация, в результате которой система приобретает качественно новое устойчивое состояние, не похожее на исходное.

Из рисунка видно, что при малом изменении параметра система выбирает новый режим, который уже находится не в непосредственной близости от исходного, следовательно, имеет качественные различия. Именно жёсткие бифуркации легли в основу теории катастроф.

Теория катастроф

Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например, болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце.

РЕНЕ ТОМ

Прежде чем вникнуть в суть теории катастроф, необходимо осознать актуальность данной тематики. Первое, что я считаю нужным отметить - существующие достижения в этой области. Во-первых, философские концепции о всеобщей предопределённости потеряли всякий смысл, что дало надежду на возможность влиять на предполагаемые кардинальные повороты ситуации. Вместе с надеждой появилось осознание ответственности за происходящее, за нарушение баланса в природе, обществе или за отсутствие там гармонии. Остается проблема обеспечения этой информацией максимально большего количества людей, кроме того важен не сам факт получения этой информации людьми, а факт осознания и восприятия этого вывода как побуждения к действиям. К сожалению, это больше похоже на утопию, поэтому продолжая размышлять о пользах теории, нужно не забывать, что и термин «катастрофа» представляет собой не бытовое видение этого события. Катастрофа в данном случае - это просто кардинальное изменение существующей системы. Основной задачей, как мы сейчас уже понимаем, является лишь правильно угадать момент и направление действий. Кроме того, этот факт даёт нам возможность предполагать, что даже и самая безвыходная ситуация - признак надвигающейся «катастрофы», означает лишь перемену, а не Армагедон.

Существует не мало исторических примеров, когда приложенных в нужный момент минимальных усилий хватало для того, чтобы перевернуть всё «с ног на голову». Естественно, что не все попытки «изменить мир» воплотились. Безусловно, это зависит от качества предпринимаемых попыток, но немаловажную роль играет время и место происходящего. Если правильно «угадать момент», то даже с самой бессмысленной идеей можно добиться радикальных изменений, а если нет, то даже самая гениальная мысль не изменит ситуацию. Чтобы уметь определять расстояние системы до точки катастрофы (а именно при переходе через эти точки и происходит самое интересное), нужно потрудиться и найти зависимость системы от внешних параметров в математических моделях, но я сомневаюсь, что кто-то занимался этим на самом деле, скорее это прерогатива будущего.

Как же опознать приближение системы критической точки? Существует такое понятие как «флаги катастроф» - особенности поведения системы, по которым можно это определить. Вот они: наличие нескольких устойчивых состояний, существование неустойчивых состояний, из которых система стремится выйти, возможность скорого изменения системы при незначительных изменениях внешних параметров, необратимость системы

Полагаю, что исчерпывающим примером каждый может назвать сам себя. Очевидно, что человек - это сложная система, равно как и его жизнь. В какие-то моменты индивид оказывается перед выбором, который определит его будущее в какой-то довольно существенной степени (выбор места учёбы, работы, места жительства и т.п.). При этом наблюдается «неуйстойчивое состояние», присущее любому человеческому существу, только в разной степени (вот уже и второй флаг). Как правило, преодолев «первый флаг», постоянно держа второй в руке, человек оказывается лицом к лицу с «третьим флагом», адаптирующего его с его выбором. После принятия решения, как правило, назад пути нет, а это верный признак того, что вы упёрлись в «четвёртый флаг». Если учёный обнаружит один из этих признаков, то ему не составит труда добраться и до остальных. Следует отметить, что это не единственный возможный набор «флагов».

Теория сильно отличается от практики тем, что никаких действий предпринять в случае чего не может. Но она вполне в состоянии понять и объяснить явления, с которыми мы сталкиваемся в реальной жизни. В бытовом смысле катастрофа или хаос это нечто разрушительное, обязательно с летальным исходом, и абсолютно неконтролируемое и необъяснимое. Как утверждает доктор физико-математических наук А.Чуличков: «С точки зрения математики катастрофа и хаос - вовсе не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда.», и я склонна ему верить. Что же такое «катастрофа» в таком случае? Для разнообразия процитирую другого научного деятеля - В.И.Арнольда: «Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий». Основная задача теории - это не растеряться в такой ситуации (в преддверии кризиса) и найти тот верный шаг, который поможет не только не испортить ситуацию, но и переманить госпожу удачу на свою сторону. А для того, чтобы вовремя начать придумывать план по захвату удачи, существуют посланники другого мифического субъекта - судьбы. Их мы рассмотрели ранее и выяснили, что называются они «флагами катастроф». Осталось только научиться оперировать этой информацией, и тогда дорога в светлое будущее обеспечена, также как и дружеские отношения с прекрасными госпожами - Судьбой и Удачей.

Как было сказано в начале, теория катастроф дает нам представление о сценариях развития событий после прохождения определенного этапа жизни сложной системы. Зиман, в своём ответе Рене Тому, выделил семь видов катастроф.

Глубже вдаваться в теорию катастроф я не буду, потому что основная цель этой работы -отделить понятия - «бедствие» и «катастрофа». И не просто описать и классифицировать их, а выяснить причину столь многочисленных исследований этой темы, и рассмотреть результаты проделанной работы.

Во многих областях знаний (биология, география, педагогика) термин «бифуркация» обозначает «раздвоение», «разделение». В нелинейной динамике термин «бифуркация» трактуется более широко - это качественное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Определение из Универсальной энциклопедии» Кирилла и Мефодия: Бифуркация, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. XX века, затем эта теория была развита А.А. Андроновым и учениками. Знание основных бифуркаций позволяет существенно облегчить исследование реальных систем (физических, химических, биологических и др.), в частности предсказать характер новых движений, возникающих в момент перехода системы в качественно другое состояние, оценить их устойчивость и область существования.

В качестве примера рассмотрим простую механическую систему: шарик, катающийся по желобу, профиль которого определяется с помощью соотношения:

(8.1) у(х) = х 4 + ах 2 + bх

Соответствующий график, поясняющий рассматриваемую систему, представлен на рис. 8.1. Здесь х - переменная, которая однозначно определяет местоположение шарика (а, следовательно, состояние системы в рассматриваемый момент времени), а и b - управляющие параметры, определяющие профиль рассматриваемого желоба. При изменении величин управляющих параметров а и b изменяется профиль желоба, что влечет за собой изменение состояния системы - меняется местоположение равновесного состояния, шарик смещается в новое положение равновесия (происходит изменение величины переменной х ). Таким образом, меняя управляющие параметры а и b , мы можем изменять состояние системы.

Рис. 8.1. Шарик в потенциальной ямке (а = –0,8; b = 1). Координата х 0 определяет местоположение шарика, параметры а и b - профиль желоба

Все возможные значения управляющих параметров можно представить себе, как плоскость (а, b ), называемую плоскостью управляющих параметров. Любая точка на этой плоскости однозначно соответствует одному, вполне определенному виду профиля желоба, по которому катается шарик. И наоборот, любой желоб вида (8.1) может быть поставлен в соответствие точке на плоскости (а, b ). Если бы управляющих параметров было не два, а больше (например, три), то речь бы шла о пространстве параметров. Вернемся, однако, к понятию «бифуркация». Речь идет о том, что при малых изменениях значений управляющих параметров происходит качественное изменение состояния системы. Подчеркнем два важных момента: малые изменения значений управляющих параметров и качественное изменение состояния системы. Иными словами, всякое (малое) изменение управляющих параметров, конечно же, приводит к изменению состояния системы, но если отличия между начальным и конечным состояниями качественным образом не отличаются, то нельзя говорить о бифуркации.

Поясним сказанное на примере шарика в потенциальной ямке. На рис. 8.2 приведена плоскость управляющих параметров (а, b ), и в некоторых точках показан профиль желоба, по которому может кататься шарик. Из рисунка видно, например, что в точках 3 и 4 плоскости параметров профили желоба, конечно же, отличаются друг от друга, но это отличие носит количественный, а не качественный характер. Качественно же оба эти профиля подобны: они имеют один минимум, а, следовательно, одно состояние устойчивого равновесия. В то же самое время, на плоскости параметров существует область (ограниченная пунктирными линиями), в которой желоб имеет три состояния равновесия. Желоб имеет три точки, в которых шарик может находиться в состоянии равновесия; два из этих состояний устойчивы, а одно - неустойчивое.

Рис. 8.2. Плоскость управляющих параметров (а, b ) и вид потенциальной ямы в некоторых точках плоскости параметров

Если шарик будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия (рис. 8.3), то любые сколь угодно малые воздействия на него (а такие воздействия рано или поздно обязательно реализуются) выведут шарик из этого состояния равновесия, и он скатится в одну из ямок - либо левую, либо правую. И в левой, и в правой ямках шарик будет находиться в состоянии устойчивого равновесия сколь угодно долго. В какую из двух этих ямок шарик попадет - определяется волей случая. Подобные системы, в которых возможно несколько устойчивых состояний (из которых реализуется, естественно, только одно), называются мультистабильными, а само явление - мультистабильностью.

Рис. 8.3. Система, находящаяся в состоянии неустойчивого равновесия. Незначительные воздействия на систему извне с неизбежностью приведут к тому, что система перейдет в устойчивое состояние равновесия

Понятно, что желоб с двумя ямками (и тремя состояниями равновесия) качественно отличается от желоба с одним состоянием равновесия. Переход от одного состояния к другому, качественно иному, как нетрудно догадаться, осуществляется на пунктирных линиях (см. рис. 8.2). Если на плоскости управляющих параметров достаточно близко «подойти» к пунктирной линии, то затем, слегка изменив управляющий параметр, можно пересечь эту линию, что приведет к качественной перестройке всей системы. Произойдет то, что и называется бифуркацией: качественное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Линию, при пересечении которой происходит бифуркация, называют линией бифуркации, а значения параметров, при которых наблюдается бифуркация - бифуркационными параметрами.

Рассмотрим теперь суть происходящих явлений с точки зрения шарика, который находится в желобе. Пусть управляющие параметры а и b медленно изменяются в соответствии с тем, как это показано стрелкой на рис. 8.4. В соответствии с изменением управляющих параметров, профиль желоба непрерывно изменяется. В точке 1 плоскости параметров желоб имеет одно устойчивое состояние равновесия, в котором и находится шарик. При пересечении пунктирной линии в точке 2 у желоба возникает еще один минимум и один максимум, т.е. появляются еще два состояния равновесия, одно из которых устойчивое (минимум), а другое - нет. По мере дальнейшего движения по плоскости параметров по указанному маршруту второй минимум становится все более глубоким (точка 3) и при достижении точки 4 глубина обеих ямок желоба оказывается одинаковой. В этом случае оба состояния равновесия «равноправны». Заметим, однако, что шарик до сих пор даже «не заметил» появления второго состояния равновесия, в котором он вполне мог бы находиться. Для шарика почти ничего не изменилось: он как находился в ямке, так и продолжает там оставаться. Да, с изменением управляющих параметров изменяется координата х 0 равновесного состояния, а, следовательно, и координата местонахождения шарика, но это изменение столь незначительное, что шарик не придает ему особого значения. Плавные, малые изменения незаметны и кажутся неважными.

Рис. 8.4. Изменение состояния системы при движении по плоскости параметров в направлении, показанном стрелкой

Действительно, задумываемся ли мы каждое утро над тем, что стали на день старше? Обращаем ли мы внимание на то, что 15 января продолжительность дня была 7 ч 39 мин, а 16 января - 7 ч 42 мин? Замечаем ли осенним днем, что листья стали еще чуть-чуть желтее, чем были накануне? Так незаметно накапливаются малые изменения, на которые мы не обращаем внимания. Малое изменение координаты состояния равновесия от точки к точке при движении по плоскости управляющих параметров - вещь столь незначительная и неважная, что шарик не обращает на это никакого внимания. Наверное, шарику вполне могло бы показаться интересным и важным появление второго возможного состояния, в котором он мог бы находиться, но это второе состояние остается невидимым для шарика, оно скрыто от него высокими стенками желоба, и шарик о его существовании просто-напросто не догадывается.

Продолжим движение по плоскости управляющих параметров. В точке 5 глубина второго, «альтернативного» минимума превосходит глубину того минимума, в котором находится шарик, да и ширина второго минимума тоже больше, чем ширина первого. Понятно, что второе устойчивое состояние равновесия теперь уже более предпочтительно, нежели первое. Тем не менее, шарик по-прежнему «живет» в первом состоянии равновесия, и для него по-прежнему, по большому счету, ничего не изменилось. Второе состояние равновесия по-прежнему для него невидимо. Хотя теперь шарик может, если обратит внимание, по косвенным признакам определить, что в системе что-то изменилось: стали не столь крутыми стенки ямки, в которой он находится, да и глубина ямки, кажется, стала поменьше. Но сможет ли шарик за этими незначительными изменениями (которые являются предвестниками дальнейших событий) увидеть нечто более серьезное, чем некоторое изменение окружающей его среды, сможет ли он понять, что его теперешнее состояние равновесия находится под угрозой, зависит от его, шарика, «прозорливости». В подобной простой механической системе, наверное, это не очень сложно, особенно если у шарика есть некоторый опыт, т.е. если он несколько раз уже бывал в подобных ситуациях. Ведь еще небольшое движение, незначительное изменение управляющих параметров, и состояние равновесия, в котором очень долгое время находился шарик, исчезнет (точка 6), и шарик будет переброшен в совершенно иное состояние.

Приведем другой классический пример бифуркации, рассмотренный еще великим Эйлером. Нам понадобится измерительная линейка, тонкий столовый нож, полотно от ножевки, длинная пластмассовая расческа и т.п. Поставьте ее вертикально на твердое основание, а сами, обезопасив руку от травмы, начинайте давить на нее вниз (рис. 8.5). Увеличивая усилие F , вы обнаружите, что при F бо льших некоторого значения F b полоска не сохраняет первоначальную прямолинейную форму (рис 8.5а) - это состояние теряет устойчивость, а вместо него возможно одно из двух других состояний (1 или 2 на рис 8.5б), когда полоска искривлена. Причем, какое состояние установится, зависит от разных незначительных факторов (первоначальной деформации полоски, отклонением от вертикали приложенной силы, вибрациями и т.п.). Здесь F - управляющий параметр, F b - его бифуркационное значение.

Рис. 8.5. Опыт с линейкой: а) состояние линейки до бифуркации (величина F меньше бифуркационного значения); б) два возможных устойчивых состояния, в которые переходит система при превышении силой F бифуркационного значения F b ; в) соответствующая бифуркационная диаграмма

Происходящее в рассмотренной системе удобно иллюстрировать с помощью графиков (рис. 8.5в, где х - отклонение средней точки полоски от вертикали) - бифуркационных диаграмм. На рисунке по горизонтали отложены значения параметра, а по вертикали соответствующие им значения переменной, установившиеся в системе (т.е. это - и не фазовая плоскость и не плоскость параметров, а нечто комбинированное). На диаграмме видно, что вместо одного состояния, отмеченного цифрой 0, после бифуркации существуют и могут быть реализованы на практике состояния 1 и 2. Что касается состояния 0, то оно продолжает в принципе существовать и при значениях F , бо льших бифуркационного, но не может быть практически реализовано из-за его неустойчивости.

Понятно, что события, подпадающие под определение «бифуркация» (качественное изменение состояния системы при малых изменениях управляющих параметров), вполне можно отыскать и в социальных системах. Примером может служить революция, коренным образом перестраивающая привычную жизнь человеческого общества. Возможны и менее «глобальные» примеры. Человек работает-работает где-либо, и вдруг ни с того ни с сего, вроде бы из-за пустяка говорит: «А гори она огнем, вся эта шарага» и пишет заявление об увольнении. Система переходит в другое, качественно иное состояние.

Следует, однако, отметить следующий аспект: социальные системы чрезвычайно сложны, и поэтому следует помнить о том, что применять существующие в нелинейной динамике понятия к подобным системам (в том числе и понятия «бифуркация», «мультистабильность») следует с осторожностью, памятуя о том, что простой механический перенос может привести к ошибкам, а порой и к фальсификации. Когда речь идет о шарике в потенциальной яме, совершенно понятно, о каких возможных состояниях системы идет речь, какие из них устойчивые, какие нет, наконец, какое состояние реализуется в настоящий момент времени. Но что понимать под возможными состояниями социальной системы? Реализующееся состояние в данный момент времени - единственное, про остальные состояния, «существуют» они (точнее говоря, могли ли они осуществиться вместо теперешнего) или нет, остается только гадать, и наши догадки останутся догадками, о достоверности которых мы тоже можем делать свои заключения, но не более. Понятие «мультистабильность», по всей видимости, может быть применено к социальными системам, но вот «экспериментально» проверить существование мультистабильности в социальных системах, наверное, невозможно. Невозможно показать, что для какого-либо фиксированного момента времени (например, сегодняшнего) помимо того состояния, которое реализуется, «существует» еще одно (или несколько) альтернативных состояний, каждое из которых могло с той или иной вероятностью реализоваться. Предполагать это можно, но экспериментально проверить - нет. И конечно, «увидеть», «почувствовать», что социальная система приближается к точке бифуркации, за которой возникнет качественно другое состояние, существенно сложнее. И если мы видели, что шарик, находящийся в потенциальной ямке, практически до самого последнего момента не «видит» надвигающейся бифуркации (и перехода системы в иное состояние), что говорить о людях и о социальных системах. Н.С. Хрущев, например, не заметил приближение системы к точке бифуркации, отправляясь из отпуска на Пленум ЦК в октябре 1964 года, по результатам которого он был освобожден от должности Первого секретаря ЦК и выведен из состава Президиума, а на следующий день - от должности Председателя Совета Министров СССР. И Гай Юлий Цезарь в 44 году до н.э. также не заметил надвигающейся бифуркации, за что поплатился жизнью.

Обратим внимание еще на один важный аспект, связанный с понятием «бифуркация». В тот момент, когда система (по параметрам) находится вблизи точки бифуркации, очень большую роль начинают играть малые возмущения. Эти возмущения могут носить случайный характер или могут быть целенаправленными, но их роль существенно возрастает. Вернемся к шарику в потенциальной ямке и рассмотрим два состояния системы: вдали и вблизи от точки бифуркации (рис. 8.6). Видно, что когда система находится вдали отточки бифуркации, малые воздействия на нее не приводят к существенным изменениям ее состояния: шарик остается в том же самом положении, как и раньше. Для того чтобы «перебросить» систему в другое возможное состояние, необходимо приложить гораздо бо льшие усилия. В то же самое время, когда система находится вблизи точки бифуркации, даже малого воздействия (которого раньше система просто-напросто не заметила бы) достаточно, чтобы перевести систему из одного состояния в другое.

Рис. 8.6. Система «шарик в потенциальной ямке» вдали и вблизи от точки бифуркации

Итак, вблизи точки бифуркации малые воздействия на систему могут привести к несоизмеримо большим «откликам». Еще одним фактором, который может привести к изменению состояния системы, является малое изменение управляющих параметров. Если система близка к точке бифуркации, то легкое «шевеление» управляющих параметров может привести к тому, что система окажется уже за границей бифуркации (как говорят, в закритической области), и система сама, уже безо всяких внешних воздействий, перейдет в новое состояние. На примере шарика в желобе, после пересечения бифуркационной линии в точке 6 (см. рис. 8.4), устойчивое состояние равновесия, в котором до этого момента находился шарик, сливается с неустойчивым и исчезает, а, следовательно, шарику ничего более не остается, как «перейти» к другому состоянию равновесия.

Примеров подобному поведению систем вблизи линии бифуркации много. По всей видимости, ряд операций на финансовых и фондовых рынках также можно использовать в качестве примера. Организованные действия группы лиц, заинтересованных в проведении той или иной финансовой операции, проведенные в нужный момент, приводят к тому, что либо на систему, находящуюся около состояния бифуркации, оказывается воздействие, выводящее ее из состояния равновесия, либо происходит малое шевеление управляющих параметров, и система оказывается в закритической области. В результате происходит переход системы в новое состояние, например, контрольный пакет акций оказывается у заинтересованного лица. Но если подобную операцию проводить в тот момент, когда система далека от состояния бифуркации, можно затратить большие средства, но желаемого результата не достичь.

Таким образом, воздействуя на систему, находящуюся вблизи бифуркационного состояния, можно добиться кардинальных изменений. Другое дело, что социальные системы - это не шарик в желобе. Определить, когда система приближается к точке бифуркации - сложная задача. Но не менее сложная и не менее важная задача, если возникает желание управлять подобным образом социальными системами, - это определить, в какое состояние перейдет система после того, как она покинет состояние равновесия.

Не стоит, однако, думать, что бифуркация - это всегда какое-либо резкое изменение, когда система изменяется до неузнаваемости. Пример бифуркации с сосуществующими положениями равновесия, описанный выше - один из самых простых. Вообще, в теории бифуркаций существует достаточно большое число различных типов бифуркационных ситуаций. Так, например, различают бифуркации и катастрофы; существует даже теория катастроф. Следует подчеркнуть, что бифуркации могут происходить плавно, подчас незаметно. Пересечение пунктирной линии в точке 2 на рис. 8.4 приводит к тому, что система качественно изменяется (меняется число возможных устойчивых состояний равновесия в системе), следовательно, происходит бифуркация. Однако, как уже говорилось, шарик, находящийся в другой ямке, не замечает произошедшей бифуркации. Другой пример с той же самой системой приведен на рис. 8.7. При движении по плоскости управляющих параметров вдоль линии b = 0 в точке a = 0 происходит бифуркация, состояние системы качественно изменяется, однако это изменение происходит плавно, без «катаклизмов». Шарик может заметить, что в системе что-то изменилось, поскольку его координата х 0 вначале (до бифуркации) была равна нулю, а затем стала отличной от нуля. Однако это изменение произошло очень плавно, и ему можно не придать значение.

Рис. 8.7. Изменение состояния системы при движении по плоскости параметров вдоль линии b = 0 в направлении, указанном стрелкой

Но и в этом случае вблизи точки бифуркации малые воздействия на систему играют значительную роль. Именно эти воздействия определяют, в какую из ямок (левую или правую) попадет шарик. Именно эти ничтожные воздействия определяют, по большому счету, дальнейшую судьбу системы. В ситуации, изображенной на рис. 8.7, малые воздействия привели к тому, что шарик оказался в правой ямке. Если, после того как система уйдет от точки бифуркации, потребуется изменить состояние системы, потребуется перебросить шарик в другую ямку, то придется приложить усилия, несоизмеримо больше тех, которые в точке бифуркации определили выбор дальнейшей эволюции системы. Примером такой «мягкой», но заметной бифуркации могут являться демократические выборы. До того момента, пока не прошло голосование, на судьбу дальнейшего развития страны могут повлиять самые незначительные факторы (может быть, вплоть до прически кандидата). После того, как выборы состоялись, изменить что-либо гораздо сложнее.

Недавно опубликована статья И.Пригожина Кость еще не брошена. Послание будущим поколениям. В частности, он пишет следующее. «Будущее не дано нам заранее. Великий французский историк Фернанд Бродель однажды заметил: „События - это пыль". Правильно ли это? Что такое событие? Сразу же приходит аналогия с „бифуркациями", которые изучаются прежде всего в неравновесной физике. Эти бифуркации появляются в особых точках, где траектория, по которой движется система, разделяется на „ветви". Все ветви равно возможны, но только одна из них будет осуществлена. Обычно наблюдается не единственная бифуркация, а целая последовательность бифуркаций... С этой точки зрения история оказывается последовательностью бифуркаций».

Далее И. Пригожин подчеркивает, что за выбор ветви, которая возникает после точки бифуркации, отвечают флуктуации на микроскопическом уровне (они определяют событие, которое произойдет). В применении к обществу (по Пригожину такое применение - метафора) событие представляет собой возникновение новой социальной структуры после прохождения бифуркации, а флуктуации - следствие индивидуальных действий. Таким образом, событие имеет микроструктуру. В качестве примера И. Пригожин рассматривает революцию 1917 года в России, указывая, что конец царского режима мог принять различные формы. Он считает, что ветвь, по которой пошло развитие, была результатом действий «флуктуации», связанной с отсутствием дальновидности у царя, непопулярностью его жены, слабостью Керенского, насилием Ленина. Эта микроструктура и обусловила все последующие события.

«Мое послание будущим поколениям состоит, стало быть, в том, что кость еще не брошена, что ветвь, по которой пойдет развитие после бифуркации, еще не выбрана. Мы живем в эпоху флуктуаций, когда индивидуальное действие остается существенным... Я верю в возникновение необходимых флуктуаций, посредством которых те опасности, которые мы ощущаем сегодня, могли бы быть успешно преодолены».

Катастрофой называется скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Математическое описание явлений, связанных с резкими скачками и качественными изменениями картины процесса, дается теориями особенностей и бифуркаций; бифуркации (катастрофы) представляют собой разрывы в системах, описываемых гладкими (непрерывными) функциями. Теория катастроф французского математика Р. Тома (R.Thom) - топологическая формализация, математический язык которой сложен даже для математиков. Теории особенностей, бифуркаций и катастроф наилучшим образом изложены в доступной для понимания биолога и небольшой по числу страниц книге «Теория катастроф» нашего соотечественника В.И. Арнольда, одного из лучших математиков мира. Эти теории описывают возникновение дискретных структур из непрерывных, называемых математиками гладкими.

Итак, источники теории катастроф – теория бифуркаций динамических систем великих математиков А. Пуанкаре (H. Poincare) и А.А. Андронова и топологическая теория особенностей гладких отображений Х. Уитни (H. Whitney). Некоторое представление об топологических особенностях может дать изображение так называемой каустики (от греч. «жгущий»), возникающей при отражении от окружности пучка параллельных лучей (рис. 1) – к примеру, в чашке с жидкостью.

Рис. 1. Каустика при отражении от окружности пучка лучей (Брус, Джиблин, 1988)

Топологическая особенность, называемая сборкой, она же бифуркация, элементарная катастрофа, схематически показана на рис. 2.

Рис. 2. Топологическая особенность (сборка) и ее проекция на плоскость (Брус, Джиблин, 1988)

Термин «бифуркация» (раздвоение, образование вилки) употребляется, как и «катастрофа», для обозначения качественных перестроек различных систем

при изменении параметров. Обычный пример катастрофы, бифуркации представляет собой поведение какой-либо упругой конструкции, под воздействием увеличивающейся нагрузки внезапно, скачкообразно переходящей в другое положение (рис. 3), причем направление выгиба конструкции предсказать невозможно.

Рис. 3. Прогиб колонны при превышении критической нагрузки (Малинецкий, 1997)

Графически бифуркация изображена на рис. 4: система имеет одно решение, одно значение в каждой точке - до точки бифуркации, после чего появляется выбор между двумя возможными решениями.

Рис. 4. Графическое представление бифуркации (катастрофы)

В самых разнообразных системах при изменении значения «управляющей» переменной система уходит от равновесия, достигая порога устойчивости. Это критическое значение называется точкой бифуркации; в точке бифуркации у системы появляется «выбор», в котором неизбежно присутствует элемент случайности с невозможностью предсказать выбор траектории эволюции системы.. Последовательность бифуркаций во времени описывает морфологию поведения системы (рис. 5).

Рис. 5. Примеры последовательностей бифуркаций (Малинецкий, 1997)

Теория катастроф указывает некоторые общие черты явлений скачкообразного изменения режима разнообразных систем в ответ на плавное изменение внешних условий: сочетание случайности и необходимости, детерминизма и непредсказуемости, возможность выбора из нескольких решений вблизи точки бифуркации, неожиданно сильного отклика на слабое воздействие (и наоборот).

В 70-х годах теорию катастроф стали применять к широкому спектру явлений с дискретным, скачкообразным поведением, когда кажущаяся

Сложные динамические системы включают флуктуирующие, случайным образом изменяющиеся компоненты. Отдельные флуктуации или их сочетания в системе с обратной связью, усиливаясь, вызывают разрушение прежнего состояния системы. Случайные воздействия в момент перелома (в точке бифуркации) могут подтолкнуть систему на новый путь развития; после же выбора одного из возможных путей, траектории развития, действует однозначный детерминизм - развитие системы предсказуемо до следующей точки бифуркации. Так случайность и необходимость дополняют друг друга.

В неравновесных условиях вблизи точки бифуркации система очень чувствительна к внешним воздействиям, и малое по силе внешнее воздействие, слабый сигнал может вызвать значительный отклик, неожиданный эффект. Внешние физические поля могут восприниматься системой, влияя на ее морфогенез. Так, при образовании ячеек Бенара (см. ниже) существенную роль начинает играть гравитация. Есть и биологические аналогии: роль гравитации в становлении дорсо-вентральной полярности при оплодотворении яйцеклетки амфибий, поляризация зиготы фукоидных водорослей под воздействием градиента освещенности.

Итак, в далеком от равновесия состоянии системы на первый план выступают нелинейные соотношения, слабое внешнее воздействие может порождать неожиданное, непредсказуемое поведение системы в целом. Иногда в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые флуктуации или внешние возмущения могут усиливаться до огромных, скачкообразным образом разрушающих всю прежнюю структуру системы и переводящих ее в иное состояние.

К теории катастроф по сути близка идея самоорганизованной критичности (П. Бак и К. Чен, 1991), согласно которой системы с большим числом

взаимодействующих элементов спонтанно эволюционируют к критическому состоянию, когда малое воздействие может привести к катастрофе. Сложные системы могут разрушиться не только от мощного удара, но и от малого события, запускающего цепную реакцию, каскад бифуркаций, разрушительный турбулентный режим. К сложным системам относятся многие природные (земная кора, экосистемы) и социальные системы; примеры природных катастроф – землетрясения, лавины, социальных – крушение империй, обвал рынков. Экспериментальная модель Бака и Чена (Bak, Chen) – конические кучи сухого песка. Падение единственной песчинки на песчаный конус, находящийся в критическом состоянии, может вызвать обвал, катастрофу. В критическом состоянии падение отдельных скатывающихся песчинок, фиксируемое в эксперименте как «шум мерцания», оказывается предвестником катастрофы; можно выявить подобные предвестники природных и социальных катастроф. Кучи песка, по словам авторов, это не просто экспериментальная модель, это новый взгляд на мир, метафора кооперативного поведения многих частиц, неустойчивого равновесия, непредсказуемости. Это холистическая концепция: глобальные характеристики и эволюцию системы нельзя понять, анализируя составляющие ее части.

Вхождение системы в непредсказуемый режим, переход к хаосу, описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой (рис. 6). Каскад бифуркаций ведет последовательно к появлению выбора между двумя решениями, затем четырьмя и т.д.; система начинает колебаться в хаотическом, турбулентном режиме последовательного удвоения возможных значений.

Теория бифуркаций и катастроф неразрывно связана с современными представлениями о динамическом, или детерминированном, хаосе.

Рис. 6. Сценарий удвоения периода; на вставке показана выделенная часть (Пайтген, Рихтер, 1993)

Диссипативные структуры

Диссипативная структура - одно из основных понятий теории струк­тур И. Пригожина. Система в целом может быть неравновесной, но уже определенным образом несколько упорядоченной, организован­ной. Такие системы И. Пригожинназвал диссипативными структурами (от лат. dissipation - разгонять, рассеивать свободную энергию), в которых при значительных отклонениях от равновесия возникают упорядоченные состояния. В процессе образования этих структур энтропия возрастает, изменяются и другие термодинамические функции системы. Это свидетельствует о сохранении в целом ее хаотичности. Диссипация как процесс рассеяния энергии играет важную роль в об­разовании структур в открытых системах. В большинстве случаев дис­сипация реализуется в виде перехода избыточной энергии в тепло. Образование новых типов структур указывает па переход от хаоса и беспорядка к организации и порядку. Эти диссипативные динамические микроструктуры являются прообразами будущих состояний си­стемы, так называемых фракталов (от лат. fractus - дробный, изрезан­ный). Большинство фракталов либо разрушается, полностью так и не сформировавшись (если они оказываются невыгодными с точки зре­ния фундаментальных законов природы), либо иногда остаются как отдельные архаичные остатки прошлого (например, древние обычаи пародов, древние слова и т. д.). В точке бифуркации (точке ветвления) идет своеобразный естественный отбор фрактальных образований. «Выживает» образование, оказавшееся наиболее приспособленным к условиям окружающей среды.

При благоприятных условиях новая структура (фрактал)«разра­стается» и преобразуется постепенно в новую макроструктуру - аттрактор. При этом система переходит в новое качественное состояние. В этом новом состоянии система продолжает свое наступательное дви­жение до следующей точки бифуркации, то есть до следующего нерав­новесного фазового перехода.

В целом диссипация как процесс рассеивания энергии, затухания движения и информации играет весьма конструктивную роль в образовании новых структур в открытых системах. Для диссипативной системы невозможно предсказать конкретный путь развития, поскольку трудно предугадать начальные реальные условия ее состояния.

Открытая нелинейная самоорганизующаяся система всегда подверже­на колебаниям. Именно в колебаниях система развивается и движется к относительно устойчивым структурам. Этому способствует посто­янный обмен системы энергией и веществом с окружающей средой.

Аномальные изменения в среде могут вывести систему из состояния динамического равновесия, и она станет неравновесной. Например, усиливающийся приток энергии в систему вызывает флуктуации и де­лает ее неравновесной и нерегулируемой. Организация системы все более расшатывается, изменяются свойства системы.

Если параметры системы достигают определенных критических значений, то система переходит в состояние хаоса.

Состояние максимальной хаотичности неравновесного процесса называют точкой бифуркации. Точки бифуркации - это точки равно­весия как устойчивого, так и неустойчивого точки «выбора» дальней­шего пути развития системы.

Для синергетики важны неустойчивые состояния. Появление не­устойчивых состояний создает потенциальную возможность системе перейти в повое качественное состояние. Оно будет характеризовать­ся новыми параметрами системы и новым режимом ее функциониро­вания.

В состояниях выбора пути, то есть в точках бифуркаций большое значение имеют случайные флуктуации (колебания). От них зависит, по какому пути из множества возможных система будет выходить из состояния неустойчивости. Многие флуктуации рассеиваются, неко­торые не оказывают влияния на дальнейший путь развития системы как очень слабые. Но при определенных, пороговых условиях за счет случайных внешних воздействий эти флуктуации могут усиливаться и действовать в резонанс, подталкивая систему к выбору определенно­го пути развития (определенной траектории).

В точках бифуркации самоорганизующаяся система, стоя перед вы­бором путей развития, образует множество диссипативных динамиче­ских микроструктур, как бы «эмбрионов» будущих состояний систе­мы - фракталов. Набор таких состояний в точках бифуркаций перед выбором дальнейшего пути и образует детерминированный, или дина­мический, хаос. Однако большинство этих будущих прообразов систе­мы - фрактальных образований гибнет в конкурентной борьбе. В ре­зультате выживает та микроструктура, которая является наиболее приспособленной к внешним условиям. Весь этот процесс носит слу­чайный и неопределенный характер. Выжившая в конкурентной борь­бе фрактальных образований формирующаяся макроструктура полу­чила название аттрактора (см. выше). В результате этого система пере­ходит в новое качественно более высокое организационное состояние. Направление движения этого аттрактора начинает подчиняться необ­ходимости. Система теперь ведет себя как жестко детерминированная.

Таким образом, аттрактор представляет собой отрезок эволюционного пути от точки бифуркации до определенного финала (им может быть другая точка бифуркации). Обычные аттракторы характеризуются ус­тойчивостью динамической системы. Аттрактор как бы притягивает к себе подобно магниту множество различных траекторий системы, определяемых разными начальными значениями параметров. Здесь очень важную роль играют кооперативные, совместные процессы, ко­торые основываются на когерентном, то есть согласованном, взаимо­действии всех элементов зарождающейся устойчивой структуры.

Аттрактор можно сравнить с конусом или воронкой, которые своей широкой частью обращены к зоне ветвления, то есть к точке бифурка­ции, а узкой частью - к конечному результату, то есть к упорядочен­ной структуре. Если система попадает в сферу действия определенно­го аттрактора, то она эволюционирует именно к нему. Разными путя­ми эволюция выходит па одни и те же аттракторы. В результате этого формируются параметры порядка, то есть устойчивого динамического состояния. В этом состоянии система может находиться до тех пор, пока в силу каких-либо причин, а также случайных флуктуации она вновь не придет в неустойчивое положение. Эти причины связаны с дисгармонией, несоответствием внутреннего состояния открытой си­стемы внешним условиям окружающей ее среды. Вследствие этого си­стема теряет свою устойчивость, возвращаясь к хаотическому состоя­нию, и у нее вновь появляется множество новых путей развития. Для наглядности бифуркационный процесс эволюции системы можно пред­ставить в виде бифуркационного дерева (рис. 8.1).

По подобному принципу в виде эволюционного дерева можно пред­ставить развитие биологических видов или антропогенеза.

В точках бифуркации даже маленькое случайное изменение может привести к серьезному возмущению системы. Поэтому самоорганизу­ющимся системам нельзя грубо навязывать определенные пути разви­тия. Здесь необходимо исследовать и найти пути совместной жизни природы и человека, стараться глубоко познать природу их совмест­ной эволюции, коэволюции.

Основы теории бифуркаций были заложены в начале XX в. фран­цузским математиком А. Пуанкаре и русским математиком А. Ляпу­новым. В дальнейшем эта теория получила развитие в школе русского физика А. Андронова. Теория бифуркаций в настоящее время находит широкое применение в междисциплинарных науках, а также в физике, химии, биологии.

Рис. 1. Бифуркационный характер эволюиии системы (X, Z- параметры системы, f - время, А и В - точки бифуркации)

Эволюционное движение системы обязательно связано с необхо­димостью перестройки адаптивных механизмов па качественно новый, более высокий уровень. Если система благодаря внутренней перестрой­ке смогла (успела) адаптироваться к новым условиям, то она приобре­тает новое, организационно более высокое, устойчивое состояние; если нет, то она разрушается и гибнет. В адаптированном устойчивом положении система может находиться до следующей случайной флуктуации, после которой ситуация повторяется. По этой схеме идет эво­люционное развитие всех систем па всех структурных уровнях, хотя скорость этого процесса различна. Так, химическая эволюция Вселен­ной продолжается от времени Большого взрыва до наших дней - это около 20 млрд лет, эволюция живой материи - 3,7 млрд лет, эволюция человека - около 2 млн лет, а человеческого общества - порядка не­скольких десятков тысяч лет.

С точки зрения синергетической самоорганизации жизнь зароди­лась в диапазоне сложных систем. В этом случае следует считать жизнь совокупностью («сборкой») физико-химических элементов.

С позиций синергетики закономерным представляется и эволюция мира живого, которая по линии развития древесных млекопитающих привела к появлению человека как биологического вида, а также чело­веческого общества как социальной системы.

а) Введение в теорию бифуркаций

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом – хаос. Такого рода изменения и называются бифуркациями.

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка:

Типичная бифуркация симметричного положения равновесия в такой системе(«трезубец») изображена на рис. 1. Она состоит в том, что от теряющего устойчивость симметричного положения равновесия ответвляется два новых, менее симметричных, положения равновесия. При этом симметричное положение равновесия сохраняется, но теряет устойчивость.

Основы математической теории бифуркаций были созданы А. Пуанкаре и A. M. Ляпуновым в начале ХХ века, а затем развиты некоторыми школами. Теория бифуркаций находит приложения в разных науках, начиная от физики и химии, заканчивая биологией и социологией.

Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая система, поведение которой в равновесной области описывается системой линейных дифференциальных уравнений, имеющих единственное решение, при изменении параметров до некоторого критического значения, достигает так называемой точки бифуркации – точки ветвления возможных путей эволюции системы.

Этот момент (точка ветвления) соответствует переходу системы в неравновесное состояние, а на уровне математического описания ему соответствует переход к нелинейным дифференциальным уравнениям и ветвление их решений.

Бифуркацией называется приобретение нового качества эволюции (в движении) динамической системы при малом изменении ее параметров. Бифуркация соответствует перестройке характера движения или структуры реальной системы (физической, химической, биологической и т. д.).

С позиций математики, бифуркация – это смена топологической структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при малом изменении ее параметров.

Это определение опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем: две системы топологически эквивалентны, если они имеют одинаковую структуру разбиения фазового пространства на траектории, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени.

Примером такой эквивалентности служат движения маятника при разных величинах коэффициента трения k: при малом трении траектории на фазовой плоскости имеют вид скручивающихся спиралей, а при большом – парабол (рис. на следующем слайде)

Переход от фазового портрета а к б не представляет собой бифуркации, поскольку бифуркации – это переход от данной системы к топологически неэквивалентной.

Пример: В математической модели возникновению ячеек Бенара соответствует бифуркация рождения новых состояний равновесия (соответствующих ячеистой структуре).

Среди различных бифуркаций при анализе моделей физических систем особенно интересны, так называемые, локальные – это бифуркации, при которых происходит перестройка отдельных движений динамической системы.

Простейшими и наиболее важными из них являются:

бифуркации состояний равновесия (ячейки Бенара)

бифуркации периодических движений.

Заключение. Важные черты бифуркации

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы (то есть состояния равновесия или предельные циклы), могут приводить к тому, что динамическая система переходит в режим стохастических колебаний.

В приложениях теории бифуркаций ставится задача – для каждой конкретной ситуации найти аналитические выражения для вариантов решений уравнений, возникающих в точках бифуркации, а также определение значений параметров, при которых начинается ветвление решений уравнений. Предварительно необходимо провести анализ устойчивости системы и поиск точек ее неустойчивости. Методы этого анализа основаны на теории устойчивости, они достаточно подробно разработаны и носят чисто технический характер.

В теории бифуркаций описано большое число бифуркационных ситуаций. В развитии реальных природных систем могут наблюдаться не отдельные бифуркации, а целые каскады бифуркаций (классическим примером может служить возникновение турбулентности и других гидродинамических неустойчивостей). Кроме того, различают бифуркации и катастрофы. Существует даже теория катастроф. Однако, анализ связей и различий между ними выходит за пределы данного учебного пособия.

Очень важная черта бифуркаций: В момент времени, когда система находится вблизи точки бифуркации, огромную роль начинают играть малые возмущения значений ее параметров. Эти возмущения могут носить как чисто случайный характер, так и быть целенаправленными. Именно от них зависит, по какой эволюционной ветви пойдет система, пройдя через точку бифуркации. То есть, если до прохождения точки бифуркации, поведение системы подчиняется детерминистским закономерностям, то в самой точке бифуркации решающую роль играет случай.

Вследствие этого, по словам И. Пригожина, мир становится «загадочным, непредсказуемым, неконтролируемым». В определенном отношении это так. Но полностью с этим высказыванием нельзя согласиться, поскольку для любой системы в точке бифуркации имеется не произвольный, а вполне определенный набор путей эволюции. Поэтому даже если работает случайность, то она работает в строго определенном поле возможностей. И, следовательно, говорить о полной неопределенности и, тем более, полной загадочности некорректно. Что же касается неконтролируемости, то, конечно, говорить о тотальном контроле не имеет смысла, но в некоторых процессах возможно вмешательство как подталкивание к желаемым вариантам развития.

4. ХАОС

Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос, которое характеризуется сильной чувствительностью поведения системы к начальным условиям; поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной; примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы.

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону и, в каком-то смысле, являются упорядоченными.

Динамический хаос - явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. Причиной появления хаоса является неустойчивость по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.

Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания бессмысленно говорить о координате частицы, но можно найти вероятность ее нахождения в некоторой точке.

Детерминированный хаос - сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).