Пропорции произведение ее средних. Составить пропорцию

Основные свойства пропорций

Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d , то ad = bc .
Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то

a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции), d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то

(a + b ) : b = (c + d ) : d (увеличение пропорции), (a – b ) : b = (c – d ) : d (уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то

(a + с ) : (b + d ) = a : b = c : d (составление пропорции сложением), (a – с ) : (b – d ) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием).

Составные (непрерывные) пропорции

Историческая справка

Литература

ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - пер. с голл. И. Н. Веселовского - М.: ГИФМЛ, 1959

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Пропорция" в других словарях:

- (лат., от pro для, и portio часть, порция). 1) соразмерность, согласование. 2) отношение частей между собою и к их целому. Отношение величин между собою. 3) в архитектуре: удачные размеры. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИЯ, пропорции, жен. (книжн.) (лат. proportio). 1. Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. 2. Равенство двух… … Толковый словарь Ушакова

Отношение, соотношение; соразмерность. Ant. диспропорция Словарь русских синонимов. пропорция см. соотношение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов

Жен., франц. соразмерность; величина или количество, отвечающее чему либо; | мат. равенство содержания, одинаковые отношения двойной четы цифры; арифметическая, если второе число на столько же более или менее, первого, на сколько четвертое против … Толковый словарь Даля

- (лат. proportio) в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b =c/d … Большой Энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ, в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b=с/d. Непрерывной пропорцией называют группу из трех или более величин, каждая из которых имеет одно и то же отношение к последующей величине, как, например, в… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ, и, жен. 1. В математике: равенство двух отношений (в 3 знач.). 2. Определённое соотношение частей между собой, соразмерность. П. в частях здания. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. proportion; нем. Proportion. 1. Соразмерность, определенное соотношение частей целого между собой. 2. Равенство двух отношений. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

пропорция - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ratedegreeDdegdrratio … Справочник технического переводчика

ПРОПОРЦИЯ - равенство двух (см.), т.е. а: b = с: d, где а, b, с, d члены пропорции, причём а и d крайние, b и с средине. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: ad = bс … Большая политехническая энциклопедия

§ 125. Понятие о пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:

Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.

Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.

Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.

§ 126. Основное свойство пропорции.

Рассмотрим пропорцию:

Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.

Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.

Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.

В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .

Проверим его на нескольких пропорциях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.

Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:

эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:

Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:

Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:

а) 1 6 = 2 3;

б) 2 15 = б 5.

§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.

Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:

х : 4 = 15: 3.

В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:

x 3 = 4 15.

После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:

х 3 = 60.

Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:

х = 60: 3, или х = 20.

Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:

Пропорция верна.

Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:

70: 10 = 21: х .

Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.

Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:

70 х = 210.

Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.

Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:

30: х = 27: 9.

Напишем основное свойство пропорции:

30 9 = х 27.

Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:

х 27 = 270.

Найдём неизвестный сомножитель:

х = 270: 27, или х = 10.

Проверим подстановкой:

30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.

Возьмём ещё одну пропорцию:

12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:

12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:

6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:

х = 96: 6, или х = 16.

Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.

Найдите неизвестные члены следующих пропорций:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два последних правила в общем виде можно записать так:

1) Если пропорция имеет вид:

х: а = b: с , то

2) Если пропорция имеет вид:

а: х = b: с , то

§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.

В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:

1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.

П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.

Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:

120:30 = 60: 15.

Пропорция не нарушилась.

Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:

Получили опять правильную пропорцию.

2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.

Пример. 16:8 = 40:20.

Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:

Получили правильную пропорцию.

Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:

Пропорция не нарушилась.

Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.

Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:

3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:

Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:

Пропорция верна.

Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.

1) Пусть имеется пропорция:

200: 25 = 56: x .

В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:

8:1 = 56: x .

Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:

2) Возьмём пропорцию:

2: 1 / 2 = 20: 5.

В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов

(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.

Увеличим второй крайний член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.

Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.

Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:

Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.

Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .

Умножим все члены пропорции на 48:

24: 1 = 960: 40.

При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставив в ней крайние члены, получим:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставим теперь средние члены:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставим одновременно и крайние, и средние члены:

20: 12 = 5: 3. (4)

Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:

12: 20 = 3: 5. (5)

В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.

Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:

а: b = с: d; c: d = a: b ;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:

ad = bc.

Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> теорема синусов

> отношение элементов в треугольнике

> теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700 – 100%

х – 35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1 – 60

х – 50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1 – 1,6

х – 3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Головач Александр Григорьевич

ГУО «Средняя школа №18 г. Бреста»

Тема: Пропорция. Основное свойство пропорции. (6 класс)

Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний

Образовательная: познакомить учащихся с понятиями: пропорция и члены пропорции; научить чтению пропорции и составлению пропорций из отношений; познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.

Развивающая: активизировать познавательную деятельность учащихся; развивать память, логическое мышление;

Воспитательная: воспитывать уважение к труду, работе в коллективе.

Литература: Математика: учеб. пособие для 6 кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова [и др.]; под ред. Л. Б. Шнепермана. – Минск: Нац. ин-т образования, 2010. - 320 с.: ил.

Оборудование: учебник, доска, мел, презентация, компьютер, проектор.

Ход урока:

Организационный момент (2 мин)

Проверка домашнего задания (3 мин)

Актуализация знаний (8 мин)

Изучение нового материала (12 мин)

Физкультминутка (2 мин)

Первичное закрепление (13 мин)

Задание на дом (1 мин)

Рефлексия. Подведение итого. (4 мин)

1. Организационный момент

Организую внимание учащихся. Предлагаю сесть. Отмечаю отсутствующих на уроке учеников.

Здороваются. Садятся.

2. Проверка домашнего задания

Сегодня у нас на уроке новая тема «Пропорция. Основное свойство пропорции».

И цели нашего урока: познакомиться с определение «Пропорция»; из каких элементов состоит пропорция; изучить основное свойство пропорций.

Но перед тем, как приступить к изучению новой темы, давайте проверим домашнее задание.

3. Актуализация знаний

/*фронтальный опрос*/

На прошлом уроке у нас была тема «Отношение чисел и величин».

1. Давайте вспомним, что же называется отношением?

2. А как называются сами эти числа или величины?

3. Скажите, что будет с отношением, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля?

А теперь давайте вспомним, как читаются отношения и найдем их значение.

1. Частное двух чисел (или двух величин) называется отношением.

2. Эти числа или величины называются членами отношения.

3. Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.

1. Отношение числа 25 к 5 равно 5.

2. Отношение числа 33 к 11 равно 3.

3. Отношение числа 6 к 14 равно .

4. Отношение числа 12 к 4 равно 3.

5. Отношение числа 30 к 70 равно

6. Отношение числа 55 к 11 равно 5.

4. Изучение нового материала

Ребята скажите, под какими номерами у наших отношений получились одинаковые значения.

У нас получились записи равных отношений:

Так вот равенство двух отношений называют пропорцией .

Пропорцию записывают:

или

- отношение a к b равно отношению c к d ;

- a относится в b , как c относится к d ;

- a , деленное на b , равно c , деленное на d .

Т.к. в записи числа a и d стоят с краю, то их принято называть крайними членами пропорции . Ну а т.к. числа b и c находятся в середине, то и называются они соответствующе – средними членами пропорции .

Эти названия сохраняются и тогда, когда пропорция записана в виде
.

Давайте вернемся к получившимся у нас пропорциям и назовем их крайние и средние члены.

А теперь немного посчитаем. Перемножьте в наших пропорциях крайние и средние члены

Какой вывод можно сделать?

То

Верно. Это утверждение называется основным свойством пропорции .

Отношение 1 равно отношению 6.

Отношение 2 равно отношению 4.

Отношение 3 равно отношению 5.

Крайние 25 и 11, средние 5 и 55.

Крайние 33 и 4, средние 11 и 12.

Крайние 6 и 70, средние 14 и 30.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

5. Физкультминутка

Ну а теперь немного отдохнем. Проведем физкультминутку для глаз. Т.к. уже зима, то на экране будут появляться снежинки, а ваша задача внимательно следить за их движениями.

6. Первичное закрепление

А теперь с новыми силами начнем выполнение заданий.

№ 5.27 (устно)

5.29 (1;3)

5.30 (1;3)

5.31 (1;3) (доп. 5.32)

№ 5.27

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

№5.29 (1;3)