Примеры признаков деления чисел. Основные признаки делимости

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6 . Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3: если число оканчивается на цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , а сумма цифр делится без остатка на 3 , значит, такое число делится на 6 ; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6 , когда оно поделится на 2 и на 3 .

Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:

• проверка делимости на 2 , то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
• проверка делимости на 3 , причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3 ; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6 , так как выполняются условия для деления на 3 и на 2 .

Пример 1

Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6 ?

Решение

Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2 , отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на 6 не поделится.

Ответ: нет.

Пример 2

Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.

Решение

Ответ: нет.

Пример 3

Проверить делимость на 6 числа − 7 269 708 .

Решение

Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8 , то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2 . Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа 7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39 . Видно, что 39 делится на 3 без остатка. То есть получаем (39: 3 = 13) . Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на 6 без остатка.

Ответ: да, делится.

Чтобы проверить делимость на 6 , можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.

Доказательство признака делимости на 6

Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.

Теорема 1

Для того, чтобы целое число a делилось на 6 , необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3 .

Доказательство 1

Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3 . Использование свойства делимости: если целое число делится на b , тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b .

Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a = 6 · q , где q является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3 . Необходимость доказана.

Для полного доказательства делимости на 6 , следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3 , то оно делится и на 6 без остатка.

Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p , тогда хотя бы один множитель делится на p .

Имеем, что целое число a поделится на 2 , тогда существует такое число q , когда a = 2 · q . Это же выражение делится на 3 , где 2 · q делится на 3 . Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3 . Отсюда получим, что имеется целое число q 1 , где q = 3 · q 1 . Значит, полученное неравенство вида a = 2 · q = 2 · 3 · q 1 = 6 · q 1 говорит о том, что число a будет делиться на 6 . Достаточность доказана.

Другие случаи делимости на 6

В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на 6 с переменными. Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на 6 , то все выражение будет делиться на 6 .

Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Определить, будет ли выражение 7 n - 12 n + 11 делиться на 6 .

Решение

Представим число 7 в виде суммы 6 + 1 . Отсюда получаем запись вида 7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 . Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что

7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 = = (C n 0 · 6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + + C n n - 2 · 6 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 6 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) - 12 n + 11 = = (6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + C n n - 2 · 6 2 + n · 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + C n n - 2 · 6 2 - 6 n + 12 = = 6 · (6 n - 1 + C n 1 · 6 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 6 1 - n + 2)

Полученное произведение делится на 6 , потому как один из множителей равняется 6 . Отсюда следует, что n может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на 6 .

Ответ: да.

Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители. получим, что переменная n примет вид и запишется как n = 6 · m , n = 6 · m + 1 , n = 6 · m + 2 , … , n = 6 · m + 5 , число m является целым. Если делимость при каждом n будет иметь смысл, то делимость заданного числа на 6 при любом значении целого n будет доказана.

Пример 5

Доказать, что при любом значении целого n выражение n 3 + 5 n поделится на 6 .

Решение

Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что n 3 + 5 n = n · (n 2 + 5) . Если n = 6 · m , тогда n · (n 2 + 5) = 6 m · (36 m 2 + 5) . Очевидно, что наличие множителя числа 6 говорит о том, что выражение делится на 6 для любого целого значения m .

Если n = 6 · m + 1 , получаем

n · (n 2 + 5) = (6 m + 1) · 6 m + 1 2 + 5 = = (6 m + 1) · (36 m 2 + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) · 6 · (6 m 2 + 2 m + 1)

Произведение будет делиться на 6 , так как имеет множитель, равняющийся 6 .

Если n = 6 · m + 2 , то

n · (n 2 + 5) = (6 m + 2) · 6 m + 2 2 + 5 = = 2 · (3 m + 1) · (36 m 2 + 24 m + 4 + 5) = = 2 · (3 m + 1) · 3 · (12 m 2 + 8 m + 3) = = 6 · (3 m + 1) · (12 m 2 + 8 m + 3)

Выражение будет делиться на 6 , так как в записи имеется множитель 6 .

Таким же образом выполняется и для n = 6 · m + 3 , n = 6 · m + 4 и n = 6 · m + 5 . При подстановке придем к тому, что при любом целом значении m эти выражения будут делиться на 6 . Отсюда следует, что заданное выражение поделится на 6 при любом целом значении n .

Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.

Пример 6

Доказать, что выражение вида 7 n - 12 n + 11 будет делиться на 6 , где примет любые целые значения выражения.

Решение

Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.

Произведем проверку делимости выражения на 6 при n = 1 . Тогда получаем выражение вида 7 1 - 12 · 1 + 11 = 6 . Очевидно, что 6 поделится само на себя.

Возьмем n = k в исходном выражении. Когда оно будет делиться на 6 , тогда можно считать, что 7 k - 12 k + 11 будет делиться на 6 .

Перейдем к доказательству деления на 6 выражения вида 7 n - 12 n + 11 при n = k + 1 . Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения 7 k + 1 - 12 · (k + 1) + 11 на 6 , причем следует учитывать то, что 7 k - 12 k + 11 делится на 6 . Преобразуем выражение и подучим, что

7 k + 1 - 12 · (k + 1) + 11 = 7 · 7 k - 12 k - 1 = = 7 · (7 k - 12 k + 11) + 72 k - 78 = = 7 · (7 k - 12 k + 11) + 6 · (12 k - 13)

Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на 6 , потому как 7 k - 12 k + 11 делится на 6 . Второе слагаемое также делится на 6 , потому как один из множителей равен 6 . Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на 6 .

Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида 7 n - 12 n + 11 будет делиться на 6 , когда n примет значение любого натурального числа.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b .

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a , или b делит a , или b входит множителем в a .

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b , b -кратное c , то a кратное c .

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b - кратные числа c , то их сумма и разность также кратные числа c .

Действительно. Так как

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m , которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r 1 , 10·r 1 на m будет r 2 , и т.д. Тогда можно записать:

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A"

(6)

(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m . Рассуждая аналогично, получим - правая часть (6) делится на m , следовательно левая часть (6) также делится на m , правая часть (7) делится на m , следовательно левая часть (7) также делится на m . Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m . Следовательно A и A" имеют одинаковый остаток при делении на m . В этом случае говорят, что A и A" равноостаточные или сравнимыми по модулю m .

Таким образом, если A" делится на m m ) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m ). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A" .

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2 , получим:

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7 , получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

Математика - самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям. Слово математика греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление».

В древности полученные знания, открытия часто старались сохранить в тайне. Например, в школе Пифагора было запрещено делиться своими знаниями с непифагорейцами.

За нарушение этого правила один из учеников, требовавший свободного обмена знаниями, - Гиппас был изгнан из школы. Сторонников Гиппаса стали называть математиками, то есть приверженцами науки. Основы математики все без исключения начинают изучать с первых классов школы и с каждым годом знания расширяются. Математика прошла во все отрасли знаний – физику, химию, науки о языке, медицину, астрономию и т. д. Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать плотины, электростанции и т. д. Много интересного можно узнать из математики. Мне нравится тема «Признаки делимости», которую мы изучали в 6 классе и я решил узнать об этой теме побольше.

Цель данной работы осветить признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 125.

Зная из 6 класса признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 легко вывести признаки делимости на 4, 6, 8, 12, 15, 25, 125.

Эти признаки я объединил в таблицу.

на 2 На 2 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на четные цифры (0,2,4, 6,8)

на 3 На 3 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3

На 4 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых последние две цифры образуют число, делящееся на 4

на 5 На 5 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5.

на 6 На 6 делятся те, и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой, и сумма цифр делится на 3

на 8 На 8 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8

на 9 На 9 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9

на 10 На10 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0

на 12 На 12 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4 и сумма цифр числа делится на 3

на 15 На 15 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5 и сумма цифр делится на 3

на 25. Для того чтобы натуральное число содержащее не менее трёх цифр, делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними на 125 Для того чтобы натуральное число содержащее не менее четырёх цифр делилось на 125 необходимо и достаточно чтобы делилось на 125 число образованное тремя последними цифрами.

Признаки делимости

Изучая разную литературу, я нашёл признак делимости на 11.

Число делится на 11, если разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах и суммой цифр, стоящих на чётных местах делится на 11. (нумерация цифр ведётся слева направо или справа налево). Например число 120340568.

Найдём сумму его цифр стоящих на нечётных местах 1+0+4+5+8=18 и на чётных местах 2+3+0+6=11.

Разность между найденными суммами 18-11=7.

7 не делится на 11, значит и данное число не делится на 11.

Признак делимости на 11 можно сформулировать и по-другому.

Если алгебраическая сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11, то и само число делится на 11.

Например: не выполняя деления, доказать, что число 86849796 делится на 11.

Решение: Составим алгебраическую сумму цифр данного числа, начиная с цифры единиц и чередующимися знаками «+» и «-».

6 – 9 + 7-9 + 4 – 8 + 6 – 8 = -11

11 делится на 11, значит, число 86849796 делится на 11.

И вот ещё один признак делимости на 11.

Чтобы узнать делится ли число на 11 - надо от числа десятков отнять число единиц и посмотреть, делится ли эта разность на 11.

Возьмем, например число 583, и применим этот признак:

58-3=55; 55 делится на 11, значит, и 583 делится на 11.

Проверим теперь на четырёхзначном числе.

Например: 3597

359-7=352 не понятно делится или нет.

35-2=33; 33 делится на 11, значит, число 3597 делится на 11.

Интересны признаки делимости на 7 и 13.

Для того чтобы натуральное число делилось на 7 или 13 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по 3 цифры (начиная с цифры единиц), взятых со знаком «+» для нечётных граней и со знаком «-» для чётных граней, делилась на 7.

Не выполняя деление доказать, что число 254390815 делится на 7.

Разобьём число на грани 254,390,815. Составим алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки «+» и «-».

Число 679 делится на 7, то и число 254390815 делится на 7.

Не выполняя деление доказать, что число 304954 делится на 13.

Разобьём на грани 304 и 954 составим алгебраическую сумму граней 954-304=650.

Число 650 делится на 13, значит, 304954 делится на 13.

И существует ещё один признак делимости, объединяющий числа 7, 11, 13.

Числа 7, 11, 13 связаны между собой загадочным числом 7 *11*13=1001

1001 - это 77 чертовых дюжен;

1001 - это 143 семерки;

1001 - это 91 раз по 11.

А еще число1001 – это число Шехерезады.

Вникнув в запись 7*11*13=1001, можно добавить следующее: возьмем некоторое число 235 и умножим его на 1001, получим 235235.

Так как 1001 делится на 7, 11, 13 то и число 235235 делится на 7, 11, 13. Отсюда следует вывод: числа вида abcabc делятся на 7, 11, 13. Есть, конечно, и другие признаки делимости, которые я ещё не знаю. И что можно с помощью вычислительной техники узнать делится ли число на другое число, но уже то, что существуют такие признаки делимости и чтобы познакомиться с ними, надо изучить дополнительную литературу, и расширив свои знания, получить при этом большое удовольствие.

Продолжим знакомство с признаками делимости . Сейчас мы изучим признак делимости на 6 . Сначала приведем его формулировку. Дальше рассмотрим примеры применения признака делимости на 6 . После этого докажем признак делимости на 6 . В заключение остановимся на примерах, в которых доказывается делимость на 6 значений некоторых выражений.

Навигация по странице.

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на 6 объединяет в себе признак делимости на 2 и признак делимости на 3 . Она такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а также сумма цифр в записи числа делится на 3 , то такое число делится на 6 ; если же нарушено хотя бы одно из указанных условий, то число не делится на 6 . Другими словами, целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда это число делится на 2 и на 3 .

Итак, признак делимости на 6 применяется в два этапа:

• На первом этапе проверяется делимость числа на 2 . Для этого рассматривается последняя цифра в записи числа. Если запись числа оканчивается цифрой 2 , то это число делится на 2 , и для дальнейшей проверки его делимости на 6 переходим ко второму этапу. Если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то число не делится на 2 , следовательно, не делится и на 6 .
• На втором этапе проверяется делимость числа на 3 . Для этого вычисляется сумма цифр исходного числа и проверяется, делится ли она на 3 (например, при помощи признака делимости на 3 ). Если сумма цифр делится на 3 , то число делится на 3 , и, учитывая его делимость на 2 (установленную на предыдущем этапе), можно делать вывод о делимости числа на 6 . Если же сумма цифр исходного числа не делится на 3 , то это число не делится на 3 , следовательно, не делится и на 6 .

Теперь можно рассмотреть конкретные примеры применения признака делимости на 6 .

Пример.

Делится ли число 8 813 на 6 ?

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся признаком делимости на 6 . Так как запись числа 8 813 оканчивается цифрой 3 , то можно делать вывод, что число 8 813 на 6 не делится.

Ответ:

Нет.

Пример.

Возможно ли разделить 934 на 6 без остатка?

Решение.

Число 934 оканчивается цифрой 4 , поэтому первое условие признака делимости на 6 выполняется. Проверим, делится ли сумма цифр числа 934 на 3 . Имеем 9+3+4=16 , а 16 на 3 не делится. Следовательно, второе условие признака делимости на 6 не выполняется, поэтому исходное число на 6 не делится.

Ответ:

Нет.

Пример.

Делится ли число −7 269 708 на 6 ?

Решение.

Последней цифрой в записи данного числа является 8 , значит первое условие признака делимости на 6 выполнено. Теперь находим сумму цифр числа −7 269 708 , имеем 7+2+6+9+7+0+8=39 . Так как 39 делится на 3 (39:3=13 ), то можно делать вывод о делимости исходного числа на 6 .

Ответ:

Да, делится.

В заключение этого пункта отметим, что для проверки делимости заданного числа на 6 можно выполнить деление непосредственно, а не прибегать к признаку делимости на 6 .

Доказательство признака делимости на 6

Приведем доказательство признака делимости на 6 . Для удобства используем формулировку этого признака в форме необходимого и достаточного условия.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 6 необходимо и достаточно, чтобы число a делилось на 2 и на 3 .

Доказательство.

Сначала докажем необходимость, то есть докажем, что если целое число a делится на 6 , то оно делится на 2 и на 3 .

Для этого нам понадобится следующее свойство делимости : если целое число a делится на b , то произведение m·a , где m – любое целое число, тоже делится на b .

Так как a делится на 6 , то понятие делимости позволяет нам записать равенство a=6·q , где q – некоторое целое число. В записанном произведении множитель 6 делится и на 2 и на 3 , тогда из указанного выше свойства делимости следует, что произведение 6·q делится и на 2 и на 3 . Этим доказана необходимость.

Чтобы признак делимости на 6 оказался полностью доказанным, осталось доказать достаточность. Докажем, что если целое число a делится на 2 и на 3 , то оно делится на 6 .

Здесь нам потребуется теорема из статьи основная теорема арифметики . Вот ее формулировка: если произведение нескольких целых положительных и отличных от единицы множителей делится на простое число p , то хотя бы один множитель делится на p .

Так как целое число a делится на 2 , то существует такое целое число q , что a=2·q . Но целое число a=2·q делится и на 3 , откуда 2·q должно делиться на 3 . Так как 2 на 3 не делится, то в силу указанной выше теоремы на 3 должно делиться q . Тогда существует такое целое число q 1 , что q=3·q 1 . Следовательно, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1 . Из полученного равенства следует делимость числа a на 6 . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 6

В этом пункте мы остановимся на способах доказательства делимости на 6 значения заданного при указанном значении переменной. В этих случаях (когда целое число задано не в явном виде) непосредственное деление и применение признака делимости на 6 часто невозможно, поэтому нужен другой подход к решению.

Один из подходов основан на утверждении: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение делится на это число. То есть, если заданное выражение представить в виде произведения, в котором один из множителей будет делиться на 6 , то этим будет доказана делимость на 6 исходного выражения. Осталось обговорить способы представления в виде произведения.

Иногда представить заданное выражение в виде нужного произведения позволяет . Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 6 значение выражения при некотором натуральном n .

Решение.

Число 7 равно сумме 6+1 , поэтому . Теперь применим формулу бинома Ньютона, после чего проведем необходимые преобразования:

Так мы пришли к произведению, которое делится на 6 , так как оно содержит множитель 6 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n (так как сумма и произведение натуральных чисел есть натуральное число). Следовательно, значение исходного выражения при любом натуральном n делится на 6 .

Ответ:

Да.

Если выражение задано в виде многочлена, то иногда получить произведение с множителем, делящимся на 6 , позволяет . После чего переменной n в полученном разложении придаются значения n=6·m , n=6·m+1 , n=6·m+2 , …, n=6·m+5 , где m – целое число. Если будет показана делимость при каждом таком n , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 6 при любом целом n .

Пример.

Докажите, что при любом целом n значение выражения делится на 6 .

Решение.

Разложение на множители данного выражения имеет вид .

При n=6·m имеем . В полученном произведении содержится множитель 6 , поэтому оно делится на 6 при любом целом m .