Построение треугольника по сторонам. Тема урока: Построение треугольника по трём элементам

Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:

Анализ задачи.

В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.

Построение.

Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.

Доказательство.

Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.

Исследование.

Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.

Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок , угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.

Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними

Пример 1

Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.

Составим план построения:

1. Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
2. На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
3. Соединим точки $B$ и $C$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).

Доказательство.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ - произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по трем сторонам

Пример 2

Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
2. Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
3. Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.

Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пример 3

Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.

Анализ.

Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
2. Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
3. Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
4. Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Решение приведено в учебнике.

Даны три отрезка M 1 N 1 , M 2 N 2 , M 3 N 3 (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M 1 N 1 и M 2 N 2 , а высота АН равна отрезку M 3 N 3 . Проведем решение задачи по описанной схеме.

Допустим, что искомый треугольник ABC построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника ABC можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника ABC. Построение

Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M 1 N 1 , а катет АН равен данному отрезку M 3 N 3 . Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображен построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M 2 N 2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 149, б).

Доказательство

Треугольник ABC действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M 1 N 1 , сторона АС равна M 2 N 2 , а высота АН равна M 3 N 3 , т. е. треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M 1 N 1 , M 2 N 2 , М 3 N 3 . В самом деле, если хотя бы один из отрезков M 1 N 1 и M 2 N 2 меньше M 3 N 3 , то задача не имеет решения, так

как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда M 1 N 1 =M 2 N 2 =M 3 N 3 (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если М 1 N 1 >М 3 N 3 , а M 2 N 2 =M 3 N 3 , то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если М 1 N 1 >М 3 N 3 , а M 2 N 2 =M 1 N 1 то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если M 2 N 2 >M 3 N 3 и М 1 N 1 ≠М 2 N 2 , то задача имеет два решения - треугольники ABC и АВС 1 на рисунке 149, д.

Цель урока: научиться строить треугольники по трём элементам

Задачи урока: построение треугольника при помощи линейки и циркуля

Ход урока:

1 этап: орг момент, приветствие, проверка домашнего задания

2 этап: новая тема

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними .

Даны два отрезка a и b , они равны сторонам искомого треугольника, и угол ∡ 1 , равный углу треугольника между сторонами. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данным отрезкам и углу.

1. Провести прямую.

A a .

∡ 1 (вершина угла A

4. На другой стороне угла отложить отрезок, равный данному отрезку b .

5. Соединить концы отрезков.

Согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам .

Дан отрезок a и два угла ∡ 1 и ∡ 2 , равные углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данному отрезку и углам.

1. Провести прямую.

2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a B .

3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).

4. Построить угол, равный данному ∡ 2 (вершина угла B , одна сторона угла лежит на прямой).

5. Точка пересечения других сторон углов является третьей вершиной искомого треугольника.

Согласно признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.

Построение треугольника по трём сторонам .

Даны три отрезка: a , b и c , равные сторонам искомого треугольника. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам.

В этом случае перед началом построения необходимо убедиться, исполняется ли неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух остальных отрезков), и эти отрезки могут быть сторонами треугольника.

1. Провести прямую.

2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .

3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b .

4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c .

5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной искомого треугольника

Согласно признаку равенства треугольников по трём сторонам, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные стороны.

3 этап: решение задач

№ 239 стр 74

постройте прямоугольный треугольник по двум катетам

4 этап: подведение итогов

5 этап: домашнее задание № 240 стр 74

Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:

Анализ задачи.

В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.

Построение.

Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.

Доказательство.

Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.

Исследование.

Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.

Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок , угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.

Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними

Пример 1

Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.

Составим план построения:

1. Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
2. На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
3. Соединим точки $B$ и $C$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).

Доказательство.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ - произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по трем сторонам

Пример 2

Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
2. Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
3. Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.

Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пример 3

Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.

Анализ.

Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
2. Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
3. Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
4. Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:

Анализ задачи.

В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.

Построение.

Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.

Доказательство.

Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.

Исследование.

Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.

Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок , угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.

Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними

Пример 1

Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.

Составим план построения:

1. Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
2. На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
3. Соединим точки $B$ и $C$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).

Доказательство.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ - произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по трем сторонам

Пример 2

Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.

Анализ.

Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
2. Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
3. Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.

Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пример 3

Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.

Анализ.

Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.

Составим план построения:

1. Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
2. Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
3. Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
4. Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).

Доказательство.

Из построения видно, что все начальные условия выполнены.

Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.