Методы решения квадратных уравнений. Формула Виета для квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений

Решение любой математической задачи предполагает знание точного предписания, определяющего, как от исходных данных перейти к искомому результату. Такое предписание называется алгоритмом решения.

В этом видеоуроке рассмотрен алгоритм решения квадратного уравнения

ax 2 + bx + c = 0.

1. Поскольку число корней квадратного уравнения, а значит его решений, зависит от дискриминанта, то сначала целесообразно определить этот дискриминант. Возможно, что уравнение и вовсе не придется решать.

Итак, вычисляем дискриминант D по формуле D = b 2 - 4ac. Далее следуем пунктам.

2. Если D<0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые определяются по формулам x 1 = ((- b + √D) / (2a)), x 2 = ((- b - √D) / (2a)).

Этот алгоритм универсален, потому что с его помощью можно решать уравнения полные, и так называемые неполные квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение - это уравнение ax 2 + bx + c = 0, где b не равно 0 и с не равно 0.

Если в уравнении b=0 или с=0, то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным.

Рассмотрим решение некоторых уравнений. Например, x 2 + 3x - 5 = 0. В видеоуроке показано, как применяется алгоритм решения. Дискриминант данного уравнения D=29, то есть D>0, значит, уравнение имеет два корня, которые мы и находим по формулам

x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a). В результате получаем ответ x 1 = (- 3 + √29)/2 , x 2 = (- 3 - √29)/2.

Некоторые уравнения нужно сначала преобразовать, а затем решать. Примеры решения таких уравнений показаны в видеоуроке.

Рассмотрим уравнение -9x 2 + 6x - 1 = 0. Умножая обе части этого уравнения на -1, получим 9x 2 - 6x + 1 = 0. Дискриминант данного уравнения D=0. Значит, согласно алгоритму, квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

X = - (b/2a). Этот корень x = 1/3.

Данное уравнение можно решить иначе. Как? Смотрите видеоурок.

Следующее уравнение 2x 2 - x + 3,5 = 0. Определяем дискриминант этого уравнения. Оказывается, что D= -27, то есть D<0, а это значит, что данное квадратное уравнение не имеет корней.

При решении уравнений для простоты записи можно сразу применить общую формулу корней x 1,2 = (-b +- √D)/2a. Если окажется, что D = b 2 - 4ac < 0, то корней нет.

Если D = b 2 - 4ac = 0, то x 1,2 = (-b +- √0)/2a = -(b/2a) . Говорят, также, что уравнение имеет два равных корня, или корень кратности два.

Если же D = b 2 - 4ac > 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляют по формулам x 1 = (- b + √D) / (2a), x 2 = (- b - √D) / (2a). Таким образом, квадратное уравнение можно решать подробно, как это показано в видеоуроке, либо сразу записать общую формулу, и с ее помощью делать необходимые вычисления.

Рассмотрим пример 2/3x 2 + 5/6x 2 - 7/12 = 0. Мы видим, что коэффициенты и свободный член уравнения представляют собой дроби, с которыми неудобно работать. Как преобразовать и решить это и подобные уравнения, узнаем из видеоурока. Оттуда же поймем, когда удобнее пользоваться развернутым алгоритмом, а когда общей формулой.

Рассмотрим уравнение x 2 - (2p + 1)x+ (p 2 + p -2) = 0. Отличие этого уравнения состоит в том, что коэффициенты его являются буквенными выражениями. Говорят, что это уравнение с буквенными коэффициентами или с параметрами. Решение уравнений с параметрами требует особых навыков. В видеоуроке подробно и доступно показано решение таких уравнений и учет значений параметра при этом.

Программирование в Lazarus для школьников.

Занятие № 12.

Решение квадратного уравнения.

Матыцин Игорь Владимирович

Учитель математики и информатики

МБОУ СОШ с. Девица

Цель: написать программу для решения квадратного уравнения, при любых вводных данных.

Девица 2013.

Квадратное уравнение является одним из самых распространенных уравнений школьного курса. Хотя оно решается достаточно легко, иногда требуется проверить ответы. Для этого можно использовать простую программу. Ее написание не займет много времени.

Начать нужно с самого квадратного уравнения. Из курса алгебры мы знаем, что квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c =0, где x – переменная, a , b и с – некоторые числа, причем a .

Из определения видно, что в уравнении меняются только коэффициенты a , b и c . Вот эти параметры мы и будем вводить в нашу программу, а для этого создадим три поля ввода из компонентов.

Рис 14.1 Поля ввода для коэффициентов.

Так же из определения следует, что a . В этом случае уравнение не будет квадратным. И это условие мы будем проверять в первую очередь. Создадим кнопку «Решить» и ее разработчике событий при помощи оператора if проверим условие a . И если a =0 сообщим что наше уравнение не квадратное. Вот обработчик событий для кнопки: procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); if a=0 then Label4.Caption:="Уравнение не является квадратным"; end;

Рис. 14.2 Проверка на существование уравнения.

Теперь необходимо описать, что будет происходить, если же уравнение квадратное. Это тоже будет в том же операторе if после слова else и при использовании составного оператора.

Если уравнение квадратное, то будем сразу его решать по формуле дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Дискриминант найдем по формуле: D := b * b – 4* a * c ;

Если дискриминант меньше нуля то уравнение не имеет решений. Это опишется так:

If d then label 4. Caption :=’Уравнение не имеет решений’ else …

А после else пойдет непосредственный поиск корней уравнения по формулам:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Вот полный код оператора if :

if a=0 then Label4.Caption:="Уравнение не является квадратным" else

begin

D:=b*b-4*a*c;

if d

begin

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

end;

Рис. 14.3 Рабочее окне программы квадратное уравнение.

Задача хорошо знакома из математики. Исходными данными здесь являются коэффициенты a, b, c. Решением в общем случае являются два корня x 1 и x 2 , которые вычисляются по формулам:

Все величины, используемые в этой программе, имеют вещественный тип.

алг корни квадратного уравнения

вещ a, b, c, x1, x2, d

нач ввод a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

вывод x1, X2

Слабость такого алгоритма видна «невооруженным глазом». Он не обладает важнейшим свойством, предъявляемым к качественным алгоритмам: универсальностью по отношению к исходным данным. Какими бы ни были значения исходных данных, алгоритм должен приводить к определенному результату и выходить на конец. Результатом может быть числовой ответ, но может быть и сообщение о том, что при таких данных задача решения не имеет. Недопустимы остановки в середине алгоритма из-за невозможности выполнить какую-то операцию. Это же свойство в литературе по программированию называют результативностью алгоритма (в любом случае должен быть получен какой-то результат).

Чтобы построить универсальный алгоритм, сначала требуется тщательно проанализировать математическое содержание задачи.

Решение уравнения зависит от значений коэффициентов a, b, c. Вот анализ этой задачи (ограничиваемся только поиском вещественных корней):

если a=0, b=0, c=0, то любое х – решение уравнения;

если a=0, b=0, c¹0, то уравнение решений не имеет;

если a=0, b¹0, то это линейное уравнение, которое имеет одно решение: x=–c/b;

если a¹0 и d=b 2 -4ac³0, то уравнение имеет два вещественных корня (формулы приведены выше);

если a¹0 и d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Блок-схема алгоритма:

Этот же алгоритм на алгоритмическом языке:

алг корни квадратного уравнения

вещ a, b, c, d, x1, x2

нач ввод a, b, c

если a=0

то если b=0

то если c=0

то вывод «любое х – решение»

иначе вывод «нет решений»

иначе x:= –c/b

иначе d:=b2–4ac

есл и d<0

то вывод «нет вещественных корней»

инач е x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

вывод “x1=”,x1, “x2=”,x2

В этом алгоритме многократно использована структурная команда ветвления. Общий вид команды ветвления в блок-схемах и на алгоритмическом языке следующий:

Вначале проверяется «условие» (вычисляется отношение, логическое выражение). Если условие истинно, то выполняется «серия 1» – последовательность команд, на которую указывает стрелка с надписью «да» (положительная ветвь). В противном случае выполняется «серия 2» (отрицательная ветвь). В АЯ условие записывается после служебного слова «если», положительная ветвь – после слова «то», отрицательная – после слова «иначе». Буквы «кв» обозначают конец ветвления.

Если на ветвях одного ветвления содержатся другие ветвления, то такой алгоритм имеет структуру вложенных ветвлений . Именно такую структуру имеет алгоритм «корни квадратного уравнения». В нем для краткости вместо слов «да» и «нет» использованы соответственно «+» и «–».

Рассмотрим следующую задачу: дано целое положительное число n. Требуется вычислить n! (n-факториал). Вспомним определение факториала.

Ниже приведена блок-схема алгоритма. В нем используются три переменные целого типа: n – аргумент; i – промежуточная переменная; F – результат. Для проверки правильности алгоритма построена трассировочная таблица. В такой таблице для конкретных значений исходных данных по шагам прослеживается изменение переменных, входящих в алгоритм. Данная таблица составлена для случая n=3.

Трассировка доказывает правильность алгоритма. Теперь запишем этот алгоритм на алгоритмическом языке.

алг Факториал

цел n, i, F

нач ввод n

F:=1; i:=1

пока i£n, повторять

нц F:=F´i

Этот алгоритм имеет циклическую структуру. В алгоритме использована структурная команда «цикл-пока», или «цикл с предусловием». Общий вид команды «цикл-пока» в блок-схемах и в АЯ следующий:

Повторяется выполнение серии команд (тела цикла), пока условие цикла истинно. Когда условие становится ложным, цикл заканчивает выполнение. Служебные слова «нц» и «кц» обозначают соответственно начало цикла и конец цикла.

Цикл с предусловием – это основная, но не единственная форма организации циклических алгоритмов. Другим вариантом является цикл с постусловием. Вернемся к алгоритму решения квадратного уравнения. К нему можно подойти с такой позиции: если a=0, то это уже не квадратное уравнение и его можно не рассматривать. В таком случае будем считать, что пользователь ошибся при вводе данных и следует предложить ему повторить ввод. Иначе говоря, в алгоритме будет предусмотрен контроль достоверности исходных данных с предоставлением пользователю возможности исправить ошибку. Наличие такого контроля – еще один признак хорошего качества программы.

В общем виде структурная команда «цикл с постусловием» или «цикл-до» представляется так:

Здесь используется условие окончания цикла. Когда оно становится истинным, цикл заканчивает работу.

Составим алгоритм решения следующей задачи: даны два натуральных числа M и N. Требуется вычислить их наибольший общий делитель – НОД(M,N).

Эта задача решается с помощью метода, известного под названием алгоритма Евклида . Его идея основана на том свойстве, что если M>N, то НОД(M

1) если числа равны, то взять их общее значение в качестве ответа; в противном случае продолжить выполнение алгоритма;

2) определить большее из чисел;

3) заменить большее число разностью большего и меньшего значений;

4) вернуться к выполнению пункта 1.

Блок-схема и алгоритм на АЯ будут следующими:

Алгоритм имеет структуру цикла с вложенным ветвлением. Проделайте самостоятельно трассировку этого алгоритма для случая M=18, N=12. В результате получится НОД=6, что, очевидно, верно.

Квадратные уравнения часто появляются в ряде задач по математике и физике, поэтому уметь их решать должен каждый школьник. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения уравнений квадратных, а также приводятся примеры их использования.

Какое уравнение называется квадратным

В первую очередь ответим на вопрос этого пункта, чтобы лучше понимать, о чем пойдет речь в статье. Итак, уравнение квадратное имеет следующий общий вид: c + b*x+a*x 2 =0, где a, b, c - некоторые числа, которые называются коэффициентами. Здесь a≠0 - это обязательное условие, в противном случае указанное уравнение вырождается в линейное. Остальные коэффициенты (b, c) могут принимать абсолютно любые значения, включая ноль. Так, выражения типа a*x 2 =0, где b=0 и c=0 или c+a*x 2 =0,где b=0, или b*x+a*x 2 =0, где c=0 - это тоже уравнения квадратные, которые называют неполными, поскольку в них либо линейный коэффициент b равен нулю, либо нулевым является свободный член c, либо они оба зануляются.

Уравнение, в котором a=1, называют приведенным, то есть оно вид имеет: x 2 + с/a + (b/a)*x =0.

Решение квадратного уравнения заключается в нахождении таких значений x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение - это выражение второй степени, то это означает, что максимальное число его корней не может превышать двух.

Какие методы решения уравнений квадратных существуют

В общем случае существует 4 метода решения. Ниже перечисляются их названия:

Разложение на множители.
Дополнение до квадрата.
Использование известной формулы (через дискриминант).
Способ решения геометрический.

Как понятно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции.

Существует еще один способ решения по теореме Виета уравнений квадратных. Его можно было бы включить 5-м в список выше, однако, это не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.

Метод №1. Разложение на множители

Для этого метода в математике квадратных уравнений существует красивое название: факторизация. Суть этого способа заключается в следующем: необходимо квадратное уравнение представить в виде произведения двух членов (выражений), которое должно равняться нулю. После такого представления можно воспользоваться свойством произведения, которое будет равно нулю только тогда, когда один или несколько (все) его членов являются нулевыми.

Теперь рассмотрим последовательность конкретных действий, которые нужно выполнить, чтобы найти корни уравнения:

Перебросить все члены в одну часть выражения (например, в левую) так, чтобы в другой его части (правой) остался только 0.
Представить сумму членов в одной части равенства в виде произведения двух линейных уравнений.
Приравнять каждое из линейных выражений к нулю и решить их.

Как видно, алгоритм факторизации является достаточно простым, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности во время реализации 2-го пункта, поэтому поясним его подробнее.

Чтобы догадаться, какие 2-а линейных выражения при умножении их друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила:

Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении их друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, то есть число a.
Свободные члены линейных выражений при их произведении должны давать число c искомого уравнения.

После того, как подобраны все числа множителей, следует выполнить их перемножение, и если они дают искомое уравнение, тогда переходить к пункту 3 в изложенном выше алгоритме, в противном случае следует изменить множители, но делать это нужно так, чтобы приведенные правила всегда выполнялись.

Пример решения методом факторизации

Покажем наглядно, как алгоритм решения уравнения квадратного составить и найти неизвестные корни. Пусть дано произвольное выражение, например, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. Перейдем к его решению, соблюдая последовательность пунктов от 1-го до 3-х, которые изложены в предыдущем пункте статьи.

Пункт 1. Перенесем все члены в левую часть и выстроим их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2*x+(-8)+x 2 =0.

Пункт 2. Разбиваем на произведение линейных уравнений. Поскольку a=1, а с=-8, то подберем, например, такое произведение (x-2)*(x+4). Оно удовлетворяет изложенным в пункте выше правилам поиска предполагаемых множителей. Если раскрыть скобки, то получим: -8+2*x+x 2 , то есть получается точно такое же выражение, как в левой части уравнения. Это означает, что мы правильно угадали множители, и можно переходить к 3-му пункту алгоритма.

Пункт 3. Приравниваем каждый множитель нулю, получаем: x=-4 и x=2.

Если возникают какие-либо сомнения в полученном результате, то рекомендуется выполнить проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение. В данном случае имеем: 2*2+2 2 -8=0 и 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. Корни найдены правильно.

Таким образом, методом факторизации мы нашли, что заданное уравнение два корня различных имеет: 2 и -4.

Метод №2. Дополнение до полного квадрата

В алгебре уравнений квадратных метод множителей не всегда может использоваться, поскольку в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают сложности в реализации пункта 2 алгоритма.

Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может применяться для квадратных уравнений любого типа. Суть его заключается в выполнении следующих операций:

Члены уравнения, содержащие коэффициенты a и b, необходимо перебросить в одну часть равенства, а свободный член c - в другую.
Далее, следует части равенства (правую и левую) разделить на коэффициент a, то есть представить уравнение в приведенном виде (a=1).
Сумму членов с коэффициентами a и b представить в виде квадрата линейного уравнения. Поскольку a=1, то линейный коэффициент будет равен 1, что касается свободного члена уравнения линейного, то он равен должен быть половине линейного коэффициента приведенного уравнения квадратного. После того, как составлен квадрат линейного выражения, необходимо в правую часть равенства, где находится свободный член, добавить соответствующее число, которое получается при раскрытии квадрата.
Взять квадратный корень со знаками "+" и "-" и решить полученное уже уравнение линейное.

Описанный алгоритм может на первый взгляд быть воспринят, как достаточно сложный, однако, на практике его реализовать проще, чем метод факторизации.

Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата

Приведем пример уравнения квадратного для тренировки его решения методом изложенным в предыдущем пункте. Пусть дано уравнение квадратное -10 - 6*x+5*x 2 = 0. Начинаем решать его, следуя описанному выше алгоритму.

Пункт 1. Используем метод переброски при решении уравнений квадратных, получаем: - 6*x+5*x 2 = 10.

Пункт 2. Приведенный вид этого уравнения получается путем деления на число 5 каждого его члена (если равенства обе части поделить или умножить на одинаковое число, то равенство сохранится). В результате преобразований получим: x 2 - 6/5*x = 2.

Пункт 3. Половина от коэффициента - 6/5 равна -6/10 = -3/5, используем это число для составления полного квадрата, получаем: (-3/5+x) 2 . Раскроем его и полученный свободный член следует вычесть из части равенства левой, чтобы удовлетворить исходному виду квадратного уравнения, что эквивалентно его добавлению в правую часть. В итоге получаем: (-3/5+x) 2 = 59/25.

Пункт 4. Вычисляем квадратный корень с положительным и отрицательным знаками и находим корни: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два найденных корня имеют значения: x 1 = (√59+3)/5 и x 1 = (3-√59)/5.

Поскольку проведенные вычисления связаны с корнями, то велика вероятность допустить ошибку. Поэтому рекомендуется проверить правильность корней x 2 и x 1 . Получаем для x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Подставляем теперь x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения являются истинными.

Метод №3. Применение известной формулы

Этот метод решения уравнений квадратных является, пожалуй, самым простым, поскольку он заключается в подставлении коэффициентов в известную формулу. Для его использования не нужно задумываться о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Она приведена на рисунке выше.

В этой формуле подкоренное выражение (b 2 -4*a*c) называется дискриминантом (D). От его значения зависит то, какие корни получатся. Возможны 3-и случая:

D>0, тогда уравнение корня два имеет действительных и разных.
D=0, тогда получается корень один, который можно вычислить из выражения x = -b/(a*2).
D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.

Пример решения через вычисление дискриминанта

Приведем пример уравнения квадратного для тренировки использования приведенной выше формулы. Найдем корни для -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. Для начала вычислим значение дискриминанта, получаем: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4*(-3)*(-6) = -23.

Поскольку получен D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

Метод №4. Использование графика функции

Он также называется графическим методом решения уравнений квадратных. Следует сказать, что применяется он, как правило, не для количественного, а для качественного анализа рассматриваемого уравнения.

Суть метода заключается в построении графика функции квадратичной y = f(x), который представляет собой параболу. Затем, необходимо определить, в каких точках пересекает ось абсцисс (X) парабола, они и будут корнями соответствующего уравнения.

Чтобы сказать, будет ли парабола пересекать ось X, достаточно знать положение ее минимума (максимума) и направление ее ветвей (они могут либо возрастать, либо убывать). Следует запомнить два свойства этой кривой:

Если a>0 - параболы ветви направлены вверх, наоборот, если a<0, то они идут вниз.
Координата минимума (максимума) параболы всегда равна x = -b/(2*a).

Например, необходимо определить, имеет ли корни уравнение -4*x+5*x 2 +10 = 0. Соответствующая парабола будет направлена вверх, поскольку a=5>0. Ее экстремум имеет координаты: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9,2. Поскольку минимум кривой лежит над осью абсцисс (y=9,2), то она не пересекает последнюю ни при каких значениях x. То есть действительных корней приведенное уравнение не имеет.

Теорема Виета

Как выше было отмечено, эта теорема является следствием метода №3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета заключается в том, что она позволяет связать в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие равенства.

Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Сложим два корня, получаем: x 1 +x 2 = -b/a. Теперь умножим корни друг на друга: x 1* x 2 , после ряда упрощений получается число c/a.

Таким образом, для решения уравнений квадратных по теореме Виета можно использовать полученных два равенства. Если все три коэффициента уравнения известны, тогда корни можно найти путем решения соответствующей системы из этих двух уравнений.

Пример использования теоремы Виета

Необходимо составить квадратное уравнение, если известно, что оно имеет вид x 2 +c = -b*x и корни его равны 3 и -4.

Поскольку в рассматриваемом уравнении a=1, то формулы Виета будут иметь вид: x 2 +x 1 =-b и x 2 *x 1 = с. Подставляя известные значения корней, получаем: b = 1 и c = -12. В итоге восстановленное уравнение квадратное приведенное будет вид иметь: x 2 -12 = -1*x. Можно подставить в него значение корней и убедиться, что равенство выполняется.

Обратное применение Виета теоремы, то есть вычисление корней по известному виду уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.

Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x - переменная. Причем число а=0.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а - называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Решение квадратных уравнений

Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни либо же установить тот факт, что квадратное уравнение корней не имеет. Корнем квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x^2 +b*x+c обращается в нуль. Иногда такого значение х называют корнем квадратного трехчлена.

Существует несколько способов решения квадратных уравнений. Рассмотри один из них - самый универсальный. С его помощью можно решить любое квадратное уравнение.

Формулы решения квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), где D =b^2-4*a*c.

Данная формула получается, если решить уравнение a*x^2 +b*x+c=0 в общем виде, с помощью выделения квадрата двучлена.

В формуле корней квадратного уравнения выражение D (b^2-4*a*c) называется дискриминантом квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0. Такое название пришло из латинского языка, в переводе «различитель». В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень, либо не иметь корней вообще.

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два корня. (x=(-b±√D)/(2*a))

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один корень. (x=(-b/(2*a))

Если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет корней.

Общий алгоритм решения квадратного уравнения

Исходя из вышесказанного, сформулируем общий алгоритм решения квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 по формуле:

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b^2-4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.