Хюррем хасеки султан исторические факты. Названы настоящие причины смерти хюррем султан. Видео: Какими были Хюррем-султан и Кёсем-султан

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

В наше время вокруг нас собрано огромное количества информации, разобраться в ней бывает непросто. Поэтому многие не знают, что за названием «Круги Эйлера» скрывается практичный и удобный метод решения различных задач. Все слышали о них, но немногие могут объяснить, что это такое. Однако я считаю, что Круги Эйлера полезны как в повседневной жизни, так и в науке, поэтому ими стоит уметь пользоваться каждому. В этой работе я собрала всю необходимую информацию для понимания, что такое Круги Эйлера и где их удобно применять.

Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между различными множествами и подмножествами. Такая схема помогает находить логические связи между явлениями и понятиями, она изобретена Леонардом Эйлером, используется в математике и других научных дисциплинах. Использование Кругов Эйлера упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. (1),(2)

Круги Эйлера неотрывно связаны с понятием множества. Поэтому, чтобы лучше понимать, что изображено на кругах Эйлера, нужно знать, что такое множество и какие множества бывают.

Под множеством можно понимать совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Во множества можно объединять любые объекты с общим признаком. Например, множество учеников гимназии 11, учащихся в 7 «Б» классе составляют отдельное множество. Множества могут быть и неодушевленных предметов. Например, множество книг, написанных каким-либо автором. С помощью кругов Эйлера множество обозначается, как пустой круг, а входящие в него элементы - точками. (5)

Давайте изобразим множество цифр. На рисунке контуром обозначено множество, а точками элементы этого множества.

Множества бывают трех видов:

· Конечное (например - множество цифр)

· Бесконечное (например - множество чисел)

· Пустое (множество натуральных чисел

меньше нуля). (5)

Группа предметов, образующая множество, входящее в состав более обширного множества, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, и называется подмножеством. Такое отношение образуется между большим множеством животных и входящим в его состав подмножеством плоских червей. (5)

В тех случаях, когда два понятия совпадают только частично, отношение между такими множествами изображается с помощью двух перекрещивающихся кругов. Такое отношение образуется между множеством учащихся 7 «Б» класса и множество троечников. Некоторые элементы множества учеников 7 «Б» класса принадлежат и к множеству троечников. (5)

Когда ни один предмет, из одного множества, не может одновременно принадлежать второму множеству, то отношение между ними изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Такими множествами являются множество отрицательных и множество положительных чисел. (5)

Круги Эйлера были изобретены и названы в честь Леона́рда Э́йлера (портрет слева). Это был швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер родился в Швейцарии, учился в Германии, но работал и умер в России. Этот ученый - автор 800 работ. Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье пастора. Его отец был другом семьи Бернулли. У Эйлера рано проявились математические способности. Обучаясь в гимназии, мальчик увлечённо занимался математикой, а позже стал посещать университетские лекции Иоганна Бернулли. 20 октября 1720 года Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Одаренный молодой человек обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал студенту математические статьи для изучения, а также пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер встретился и начал общаться с сыновьями Бернулли — Даниилом (портрет слева) и Николаем (потрет справа), которые тоже занимались математикой. (6)

Юный Эйлер написал несколько научных работ. «Диссертация по физике о звуке» получила благоприятный отзыв. В то время число научных вакансий в Швейцарии было невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в Россию, где начинала создаваться Российская Академия наук; они обещали похлопотать там и о должности для Эйлера. В начале зимы 1726 года Эйлеру пришло письмо из Санкт - Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей. Эйлер провёл много времени в России, где внёс существенный вклад в российскую науку. С 1731 был избран академиком Петербургской Академии. Хорошо знал русский язык, а сочинения и учебники публиковал на русском. (6)

Тогда Эйлер подробно описывает свой метод решения некоторых задач при помощи кругов Эйлера. В 1741 году Эйлер пишет «Письма о разных физических и философических материях, к некоторой немецкой принцессе..», где упоминаются «круги Эйлера». Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». (3)

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли по-своему. Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами. Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна. Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только. (1)

Вот несколько задач для решения, которых, удобно использовать круги Эйлера:

Задача 1.

У ребят из одной школы спрашивали об их домашних животных. 100 из них ответили, что у них дома есть собака и/или кошка. У 87 ребят была одна собака, а у 63 ребят - одна кошка. У скольких ребят есть и собака и кошка?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, не используя круги Эйлера нужно подсчитать, сколько собак и кошек было у учеников. Для этого нужно сложить 87 и 63. 87+63=150 домашних животных. Учеников было всего лишь 100, а дробного числа домашних животных получиться не может. Значит если у каждого ученика 1 домашнее животное, остается еще 50 лишних. Следовательно, у 50 учеников 2 домашних животных. И так как в задаче указано, что ни у одного из учеников нет 2 кошек или 2 собак, то это значит, что у 50 учеников есть и кошка и собака.

Но этот способ долгий и подходит только для простых задач. Такую задачу намного удобнее решить через круги Эйлера.

Красным кругом изобразим множество обладателей собак, а синим множество обладателей кошек. Всего учеников было 100. Тех, у кого есть и кошка, и собака Х. Чтобы найти количество учеников, у которых только собака нужно из 87 вычесть Х. Так как всего учеников 100, мы получаем:

Х=50 учеников

Ответ: у 50 учеников есть и кошка и собака

Задача 2.

Однажды учеников спросили, кто из них любит математику, кому нравится русский язык, а кому физика. Оказалось, что из 36 учеников 2 не любят ни математику, ни русский, ни физику. Математика нравится 25 ученикам, русский язык- 11, физика - 17 ученикам; и математика, и русский- 6; и математика, и физика- 10; русский язык и физика - 4.

Сколько человек любят все три предмета?

Решение:

Изобразим 3 множества. Красное множество тех, кто любит математику, синие тех, кто любит русский язык, зеленое - физику.

Теперь впишем в множества количество элементов. 6 человек любят и русский и математику. Из них X человек любят еще и физику. Значит, только математику и русский любят 6-Х человек. Только математику и физику 10-Х, только русский и физику 4-Х человек. 25 человек любят математику. Но Х, 6-Х, 10-Х человек любят и другие предметы. Значит, только математику любят 25-(6-Х)-(10-Х)-Х= 25-6+Х-10+Х -Х=5+Х человек. Только русский любят 11-(6-Х)-(4-Х)-Х= 11-10+2Х-Х=1+Х учеников, только физику 17-(10-Х) -(4-Х)-Х= 17-14+2Х-Х= 3+Х.

Так как 2 человека не любят ни один из этих предметов, то:

3+Х+9+Х+1+Х+6-Х+10-Х+4-Х+Х=36-2

Ответ: 1 человек любит все три предмета

Задача 3.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу природа? (4)

Решение :

По запросу человек было найдено 2100 тысяч страниц. 900 из них еще и о природе. Значит страниц только о человеке 2100-900=200 тысяч, а только о природе Х-900 тысяч. Получаем, что:

2100-900+Х-900+900=3400

2100-900+Х=3400

Х=2200 тысяч страниц

Ответ: по запросу природа будет найдено 2200 тысяч страниц.

Как видите Круги Эйлера - это полезное и важное открытие для математики в целом и для каждого из нас в частности. Круги Эйлера встречаются не только на экзаменах, но и нужны нам в повседневной жизни. Это интересная и необходимая вещь, о которой не стоит забывать.

Литература:

https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0

http://sibac.info/shcoolconf/science/xvii/42485

http://www.jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4

Не потеряйте. Подпишитесь и получите ссылку на статью себе на почту.

Круги Эйлера представляют собой особую геометрическую схему, необходимую для поиска и более наглядного отображения логических связей между понятиями и явлениями, а также для изображения отношений между определенным множеством и его частью. Благодаря наглядности они значительно упрощают любые рассуждения и помогают быстрее находить ответы на вопросы.

Автором кругов является известный математик Леонард Эйлер, который считал, что они необходимы, чтобы облегчить размышления человека. С момента своего появления метод приобрел широкую популярность и признание.

Леонард Эйлер – российский, немецкий и швейцарский математик и механик. Внес огромный вклад в развитие математики, механики, астрономии и физики, а также ряда прикладных наук. Написал больше 850 научных работ по теории чисел, теории музыки, небесной механике, оптике, баллистике и другим направлениям. Среди этих работ несколько десятков фундаментальных монографий. Половину жизни Эйлер прожил в России и оказал большое влияние на становление российской науки. Многие его труды написаны на русском языке.

Позже круги Эйлера использовали в своих работах многие известные ученые, к примеру, чешский математик Бернард Больцано, немецкий математик Эрнест Шредер, английский философ и логик Джон Венн и другие. Сегодня методика служит основной многих упражнений на развитие мышления, в том числе и упражнений из нашей бесплатной онлайн-программы « ».

Для чего нужны круги Эйлера

Круги Эйлера имеют прикладное значение, ведь с их помощью можно решать множество практических задач на пересечение или объединение множеств в логике, математике, менеджменте, информатике, статистике и т.д. Полезны они и в жизни, т.к., работая с ними, можно получать ответы на многие важные вопросы, находить массу логических взаимосвязей.

Есть несколько групп кругов Эйлера:

равнозначные круги (рисунок 1 на схеме);
пересекающиеся круги (рисунок 2 на схеме);
подчиненные круги (рисунок 3 на схеме);
соподчиненные круги (рисунок 4 на схеме);
противоречащие круги (рисунок 5 на схеме);
противоположные круги (рисунок 6 на схеме).

Посмотрите схему:

Но в упражнениях на развитие мышления чаще всего встречаются два вида кругов:

Круги, описывающие объединения понятий и демонстрирующие вложенность одного в другое. Посмотрите пример:

Круги, описывающие пересечения разных множеств, имеющих некоторые общие признаки. Посмотрите пример:

Результат использования кругов Эйлера проследить на этом примере очень просто: обдумывая, какую профессию выбрать, вы можете либо долго рассуждать, пытаясь понять, что больше подойдет, а можете нарисовать аналогичную диаграмму, ответить на вопросы и сделать логический вывод.

Применять метод очень просто. Также его можно назвать универсальным – подходящим для людей всех возрастов: от детей дошкольного возраста (в детских садах детям преподают круги, начиная с 4-5-летнего возраста) до студентов (задачи с кругами есть, к примеру, в тестах ЕГЭ по информатике) и ученых (круги широко применяются в академической среде).

Типичный пример кругов Эйлера

Чтобы вы могли лучше понять, как «работают» круги Эйлера, рекомендуем познакомиться с типичным примером. Обратите внимание на нижеследующий рисунок:

На рисунке зеленым цветов отмечено наибольшее множество, представляющее собой все варианты игрушек. Один из них – это конструкторы (голубой овал). Конструкторы – это отдельное множество само по себе, но в то же время и часть общего множества игрушек.

Заводные игрушки (фиолетовый овал) тоже относятся к множеству игрушек, однако к множеству конструктора они отношения не имеют. Зато заводной автомобиль (желтый овал), пусть и является самостоятельным явлением, но считается одним из подмножеств заводных игрушек.

По подобной схеме строятся и решаются многие задачи (включая и задания на развитие когнитивных способностей), задействующие круги Эйлера. Давайте разберем одну такую задачу (кстати, именно ее в 2011 году внесли на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ).

Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера

Условия задачи таковы: приведенная таблица показывает, сколько страниц было найдено в Интернете по конкретным запросам:

Вопрос задачи: сколько страниц (в тысячах) выдаст поисковик по запросу «Крейсер и линкор»? При этом нужно учитывать, что все запросы выполняются примерно в одно и то же время, поэтому набор страниц с искомыми словами со времени выполнения запросов остался неизменным.

Решается задача так: с помощью кругов Эйлера изображаются условия задачи, а цифрами «1», «2» и «3» обозначаются полученные в результате сегменты:

Учитывая условия задачи, составляем уравнения:

Крейсер/линкор: 1+2+3 = 7 000;
Крейсер: 1+2 = 4 800;
Линкор: 2+3 = 4 500.

Чтобы определить количество запросов «Крейсер и линкор» (сегмент обозначен цифрой «2» на рисунке), подставим в уравнение 1 уравнение 2 и получим:

4 800 + 3 = 7 000, а значит, что 3 = 2 200 (т.к. 7 000-4 800 = 2 200).

2 + 2 200 = 4 500, а это означает, что 2 = 2 300 (т.к. 4 500-2 200 = 2 300).

Ответ: по запросу «Крейсер и линкор» будет найдено 2 300 страниц.

Этот пример наглядно демонстрирует, что с помощью кругов Эйлера можно достаточно быстро и просто решать сложные задачи.

Резюме

Круги Эйлера – это очень полезная методика решения задач и установления логических связей, а заодно и занимательный и интересный способ провести время и потренировать мозг. Так что, если вам хочется совместить приятное с полезным и поработать головой, предлагаем пройти наш курс « », включающий в себя самые разные задания, в том числе и круги Эйлера, эффективность которых научно обоснована и подтверждена многолетней практикой.

Задача 1 .

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.

Сколько шестиклассников:

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5 , а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают .

При решении данной задачи мы использовали способ ее графического представления при помощи так называемых кругов Эйлера. Этот способ был предложен Леонардом Эйлером и широко используется при решении логических задач.

Леона́рд Э́йлер (4(15) апреля 1707, Базель, Швейцария – 7(18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) – швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2.

Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?

Решение.

Здесь нет принципиального отличия от решения предыдущей. На готовом рисунке заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.

Ответ: обе газеты выписывают 60% жителей.

Чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после составления рисунка их решение становится достаточно очевидным.

Задача 3.

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение.

Пусть
Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.

Тогда
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.

Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задача 4.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение.

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3 . Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

кругами Эйлера называют фигуры, условно изображающие множества и наглядно иллюстрирующие некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера иногда называют диаграммами Вен на (или диаграммами Эйлера - Венна). Круги Эйлера, иллюстрирующие основные операции над множествами, представлены на рис. 1.2 (множества, полученные в результате этих операций, отмечены штриховкой). АПВ 00 АЬВ Рис. 1.2 Пример 1.8. При помощи кругов Эйлера установим сначаг ла справедливость первого соотношения, выражающего свойство дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств, На рис. 1.3,а вертикально заштрихован круг, изображающий множество А) а горизонтально - область, отвечающая пересечению множеств В и С. В итоге тем или иным способом заштрихована область, изображающая множество A U (БПС). На рис. 1.3,5 вертикально заштрихована область, соответствующая объединению множеств Л и Б, а горизонтально - объединению множеств Л и С, так что обоими способами заштрихована область, изображающая множество (A U В) П (A U С) и совпадающая с областью, заштрихованной каким-либо способом на рис. 1.3,а. Таким образом, круги Эйлера позволяют установить справедливость (1.10). Теперь рассмотрим второй закон де Моргана (1.7) Заштрихованная на рис. 1.4,а область изображает множество ЛИВ, а незаштрихованная часть прямоугольника Q (внешняя по отношению к заштрихованной) соответствует множеству ЛПВ. На рис. 1.4,5 части прямоугольника 12, заштрихованные вертикально и горизонтально, отвечают соответственно А и В. Тогда множеству Ли В отвечает область, заштрихованная хотя бы одним из указанных способов. Она совпадает с областью, не заштрихованной на рис. 1.4,а и отвечающей множеству ЛПБ, что устанавливает справедливость (1.11). Вопросы и задачи 1.1. Запись m|n, где m,n € Z, означает, что число m нацело делит число п (то - делитель п). Описать заданные множества при условии, что х € N: 1.2. Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера: . 1.3. Установить, в каком отношении (X С Y, X Э У или X = Y) находятся множества X и У, если: а Использовать для иллюстрации круги Эйлера. 1.4. Пусть Aj - множество точек, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать объединение и пересечение всех таких множеств, если треугольники: а) произвольные; б) правильные; в) прямоугольные. Найти IK и flAi ieN i en для заданных семейств множеств: 1.6. Указать, какие из представленных ниже соотношений неверны, и объяснить, почему: 1.7. Указать, какие из множеств равны между собой: . 1.8. Найти множества Ли В, АГ\В, А\В, В\А и изобразить их на числовой прямой, если А = (1.0. Считая отрезок универсальным множеством, найти и изобразить на числовой прямой дополнения множеств: . 1.10. По приведенным ниже описаниям множеств людей подберите для каждой записи высказывания на языке множеств подходящую пословицу или поговорку. Надеемся, что это позволит лишний раз проанализировать смысл народных изречений. Например, если Z -множество людей, которые сами как следует не знают того, о чем говорят, то запись х £ Z можно отнести к пословице „Слышал звон, да не знает, где он, поскольку именно так говорят о человеке, наделенном указанным свойством (в данном случае - характеристическим свойством множества Z, см. 1.1). Множества людей ft - универсальное множество всех людей, Л - добрые, 5е В - незаурядные, с большими способностями, С - глупые, D - умные, Е - поступающие по своему, не слушающие советов, F - связанные корыстными отношениями, G - много обещающие, Я - не выполняющие своих обещаний, J - злоупотребляющие своим служебным положением, К - слишком важничающие, задающиеся, L - вмешивающиеся не в свое дело, М - предприимчивые, ловкие, умеющие устраиваться, Р - берущиеся за несколько дел сразу, Q - плодотворно работающие, S - ошибающиеся, Т - чувствующие вину и возможность расплаты, U - не добивающиеся результатов, V - выдающие себя своим поведением, W- недальновидные, X - действующие заодно, не предающие друг друга, У - бывалые, опытные люди. Запись высказываний на языке множеств хеК; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; хеМ; хеСПЕ; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Пословицы и поговорки - Бодливой корове бог рог не дает. - Большому кораблю - большое плавание. - Вольному воля. - Ворон ворону глаз не выклюет. - Дуракам закон не писан. - За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь. - Знает кошка, чье мясо съела. - Знай сверчок свой шесток. - И на старуху бывает проруха. - Курице не тетка, свинье не сестра. - Кто смел, тот и съел. - На всякого мудреца довольно простоты. - Наделала синица славы, а море не зажгла. - Свет не без добрых людей. 1.11. Доказать справедливость соотношений (1.2). 1.12. Доказать справедливость второго из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения непосредственно и методом от противного. 1.13. Применив метод математической индукции, докаг -эать, что для любого натурального числа п справедливы неравенства п^2п~1 и (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (неравенство Бернулли). 1.14. Доказать, что среднее арифметическое п положительных действительных чисел не меньше их среднего геометрического, т.е. п 1.15. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что это был синий „Бьюик", Джонс - голубой „Крайслер", а Смит - „Форд Мустанг", но не синий. Какого цвета был автомобиль и какой марки, если известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет? 1.1в. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, Д J5, F, G и Я надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять Е и G, гидролога - В и F, синоптика - F и G, радиста - С и Д механика - С и Я, врача - А и Д но каждый из них, если будет в экспедиции, сможет выполнять лишь одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без D - без Я и без С, С не может ехать с G, а Д - с В?