Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL

Доверительные интервалы (англ. Confidence Intervals ) одним из типов интервальных оценок используемых в статистике, которые рассчитываются для заданного уровня значимости. Они позволяют сделать утверждение, что истинное значение неизвестного статистического параметра генеральной совокупности находится в полученном диапазоне значений с вероятностью, которая задана выбранным уровнем статистической значимости.

Нормальное распределение

Когда известна вариация (σ 2) генеральной совокупности данных, для расчета доверительных пределов (граничных точек доверительного интервала) может быть использована z-оценка. По сравнению с применением t-распределения, использование z-оценки позволит построить не только более узкий доверительный интервал, но и получить более надежные оценки математического ожидания и среднеквадратического (стандартного) отклонения (σ), поскольку Z-оценка основывается на нормальном распределении.

Формула

Для определения граничных точек доверительного интервала, при условии что известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности данных, используется следующая формула

Пример

Предположим, что размер выборки насчитывает 25 наблюдений, математическое ожидание выборки равняется 15, а среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности составляет 8. Для уровня значимости α=5% Z-оценка равна Z α/2 =1,96. В этом случае нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон от 11,864 до 18,136.

Методы сужения доверительного интервала

Допустим, что диапазон является слишком широким для целей нашего исследования. Уменьшить диапазон доверительного интервала можно двумя способами.

1. Снизить уровень статистической значимости α.
2. Увеличить объем выборки.

Снизив уровень статистической значимости до α=10%, мы получим Z-оценку равную Z α/2 =1,64. В этом случае нижняя и верхняя граница интервала составят

А сам доверительный интервал может быть записан в виде

В этом случае, мы можем сделать предположение, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон .

Если мы хотим не снижать уровень статистической значимости α, то единственной альтернативой остается увеличение объема выборки. Увеличив ее до 144 наблюдений, получим следующие значения доверительных пределов

Сам доверительный интервал станет иметь следующий вид

Таким образом, сужение доверительного интервала без снижения уровня статистической значимости возможно только лишь за счет увеличения объема выборки. Если увеличение объема выборки не представляется возможным, то сужение доверительного интервала может достигаться исключительно за счет снижения уровня статистической значимости.

Построение доверительного интервала при распределении отличном от нормального

В случае если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно или распределение отлично от нормального, для построения доверительного интервала используется t-распределение. Это методика является более консервативной, что выражается в более широких доверительных интервалах, по сравнению с методикой, базирующейся на Z-оценке.

Формула

Для расчета нижнего и верхнего предела доверительного интервала на основании t-распределения применяются следующие формулы

Распределение Стьюдента или t-распределение зависит только от одного параметра – количества степеней свободы, которое равно количеству индивидуальных значений признака (количество наблюдений в выборке). Значение t-критерия Стьюдента для заданного количества степеней свободы (n) и уровня статистической значимости α можно узнать из справочных таблиц.

Пример

Предположим, что размер выборки составляет 25 индивидуальных значений, математическое ожидание выборки равно 50, а среднеквадратическое отклонение выборки равно 28. Необходимо построить доверительный интервал для уровня статистической значимости α=5%.

В нашем случае количество степеней свободы равно 24 (25-1), следовательно соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня статистической значимости α=5% составляет 2,064. Следовательно, нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

А сам интервал может быть записан в виде

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Использование t-распределения позволяет сузить доверительный интервал либо за счет снижения статистической значимости, либо за счет увеличения размера выборки.

Снизив статистическую значимость с 95% до 90% в условиях нашего примера мы получим соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента 1,711.

В этом случае мы можем утверждать, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Если мы не хотим снижать статистическую значимость, то единственной альтернативой будет увеличение объема выборки. Допустим, что он составляет 64 индивидуальных наблюдения, а не 25 как в первоначальном условии примера. Табличное значение t-критерия Стьюдента для 63 степеней свободы (64-1) и уровня статистической значимости α=5% составляет 1,998.

Это дает нам возможность утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Выборки большого объема

К выборкам большого объема относятся выборки из генеральной совокупности данных, количество индивидуальных наблюдений в которых превышает 100. Статистические исследования показали, что выборки большего объема имеют тенденцию быть нормально распределенными, даже если распределение генеральной совокупности отличается от нормального. Кроме того, для таких выборок применение z-оценки и t-распределения дают примерно одинаковые результаты при построении доверительных интервалов. Таким образом, для выборок большого объема допускается применение z-оценки для нормального распределения вместо t-распределения.

Подведем итоги

Пусть у нас имеется большое количество предметов, с нормальным распределением некоторых характеристик (например, полный склад однотипных овощей, размер и вес которых варьируется). Вы хотите знать средние характеристики всей партии товара, но у Вас нет ни времени, ни желания измерять и взвешивать каждый овощ. Вы понимаете, что в этом нет необходимости. Но сколько штук надо было бы взять на выборочную проверку?

Прежде, чем дать несколько полезных для этой ситуации формул напомним некоторые обозначения.

Во-первых, если бы мы все-таки промерили весь склад овощей (эт о множество элементов называется генеральной совокупностью), то мы узнали бы со всей доступной нам точностью среднее значение веса всей партии. Назовем это среднее значение Х ср.г ен . - генеральным средним. Мы уже знаем, что определяется полностью, если известно его среднее значение и отклонение s . Правда, пока мы ни Х ср.ген., ни s генеральной совокупности не знаем. Мы можем только взять некоторую выборку, замерить нужные нам значения и посчитать для этой выборки как среднее значение Х ср.в ыб., так и среднее квадратическое отклонение S выб.

Известно, что если наша выборочная проверка содержит большое количество элементов (обычно n больше 30), и они взяты действительно случайным образом , то s генеральной совокупности почти не будет отличаться от S выб ..

Кроме того, для случая нормального распределения мы можем пользоваться следующими формулами:

С вероятностью 95%

С вероятностью 99%

В общем виде c вероятностью Р (t)

Связь значения t со значением вероятности Р (t), с которой мы хотим знать доверительный интервал, можно взять из следующей таблицы:

Таким образом, мы определили, в каком диапазоне находится среднее значение для генеральной совокупности (с данной вероятностью).

Если у нас нет достаточно большой выборки, мы не можем утверждать, что генеральная совокупность имеет s = S выб. Кроме того, в этом случае проблематична близость выборки к нормальному распределению. В этом случае также пользуются S выб вместо s в формуле:

но значение t для фиксированной вероятности Р (t) будет зависеть от количества элементов в выборке n. Чем больше n, тем ближе будет полученный доверительный интервал к значению, даваемому формулой (1). Значения t в этом случае берутся из другой таблицы (t-критерий Стьюдента), которую мы приводим ниже:

Значения t-критерия Стьюдента для вероятности 0,95 и 0,99

Пример 3. Из работников фирмы случайным образом отобрано 30 человек. По выборке оказалось, что средняя зарплата (в месяц) составляет 30 тыс. рублей при среднем квадратическом отклонении 5 тыс. рублей. С вероятностью 0,99 определить среднюю зарплату в фирме.

Решение: По условию имеем n = 30, Х ср. =30000, S=5000, Р = 0,99. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой, соответствующей критерию Стьюдента. По таблице для n = 30 и Р = 0,99 находим t=2,756, следовательно,

т.е. искомый доверительный интервал 27484 < Х ср.ген < 32516.

Итак, вероятностью 0,99 можно утверждать, что интервал (27484; 32516) содержит внутри себя среднюю зарплату в фирме.

Мы надеемся, что Вы будете пользоваться этим методом, при этом не обязательно, чтобы при Вас каждый раз была таблица. Подсчеты можно проводить в Excel автоматически. Находясь в файле Excel, нажмите в верхнем меню кнопку fx. Затем, выберите среди функций тип "статистические", и из предложенного перечня в окошке - СТЬЮДРАСПОБР. Затем, по подсказке, поставив курсор в поле "вероятность" наберите значение обратной вероятности (т.е. в нашем случае вместо вероятности 0,95 надо набирать вероятность 0,05). Видимо, электронная таблица составлена так, что результат отвечает на вопрос, с какой вероятностью мы можем ошибиться. Аналогично в поле "степень свободы" введите значение (n-1) для своей выборки.

Доверительный интервал для математического ожидания - это такой вычисленный по данным интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности. Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений. Поэтому далее в течение урока мы будем пользоваться терминами "среднее", "среднее значение". В задачах рассчёта доверительного интервала чаще всего требуется ответ типа "Доверительный интервал среднего числа [величина в конкретной задаче] находится от [меньшее значение] до [большее значение]". С помощью доверительного интервала можно оценивать не только средние значения, но и удельный вес того или иного признака генеральной совокупности. Средние значения, дисперсия, стандартное отклонение и погрешность, через которые мы будем приходить к новым определениям и формулам, разобраны на уроке Характеристики выборки и генеральной совокупности .

Точечная и интервальная оценки среднего значения

Если среднее значение генеральной совокупности оценивается числом (точкой), то за оценку неизвестной средней величины генеральной совокупности принимается конкретное среднее, которое рассчитано по выборке наблюдений. В таком случае значение среднего выборки - случайной величины - не совпадает со средним значением генеральной совокупности. Поэтому, указывая среднее значение выборки, одновременно нужно указывать и ошибку выборки. В качестве меры ошибки выборки используется стандартная ошибка , которая выражена в тех же единицах измерения, что и среднее. Поэтому часто используется следующая запись: .

Если оценку среднего требуется связать с определённой вероятностью, то интересующий параметр генеральной совокупности нужно оценивать не одним числом, а интервалом. Доверительным интервалом называют интервал, в котором с определённой вероятностью P находится значение оцениваемого показателя генеральной совокупности. Доверительный интервал, в котором с вероятностью P = 1 - α находится случайная величина , рассчитывается следующим образом:

,

α = 1 - P , которое можно найти в приложении к практически любой книге по статистике.

На практике среднее значение генеральной совокупности и дисперсия не известны, поэтому дисперсия генеральной совокупности заменяется дисперсией выборки , а среднее генеральной совокупности - средним значением выборки . Таким образом, доверительный интервал в большинстве случаев рассчитывается так:

.

Формулу доверительного интервала можно использовать для оценки среднего генеральной совокупности, если

• известно стандартное отклонение генеральной совокупности;
• или стандартное отклонение генеральной совокупности не известно, но объём выборки - больше 30.

Среднее значение выборки является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности . В свою очередь, дисперсия выборки не является несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности . Для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности в формуле дисперсии выборки объём выборки n следует заменить на n -1.

Пример 1. Собрана информация из 100 случайно выбранных кафе в некотором городе о том, что среднее число работников в них составляет 10,5 со стандартным отклонением 4,6. Определить доверительный интервал 95% числа работников кафе.

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .

Таким образом, доверительный интервал 95% среднего числа работников кафе составил от 9,6 до 11,4.

Пример 2. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 64 наблюдений вычислены следующие суммарные величины:

сумма значений в наблюдениях ,

сумма квадратов отклонения значений от среднего .

Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания.

вычислим стандартное отклонение:

,

вычислим среднее значение:

.

Подставляем значения в выражение для доверительного интервала:

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .

Получаем:

Таким образом, доверительный интервал 95% для математического ожидания данной выборки составил от 7,484 до 11,266.

Пример 3. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 100 наблюдений вычислено среднее значение 15,2 и стандартное отклонение 3,2. Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания, затем доверительный интервал 99 %. Если мощность выборки и её вариация остаются неизменными, а увеличивается доверительный коэффициент, то доверительный интервал сузится или расширится?

Подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .

Получаем:

.

Таким образом, доверительный интервал 95% для среднего данной выборки составил от 14,57 до 15,82.

Вновь подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,01 .

Получаем:

.

Таким образом, доверительный интервал 99% для среднего данной выборки составил от 14,37 до 16,02.

Как видим, при увеличении доверительного коэффициента увеличивается также критическое значение стандартного нормального распределения, а, следовательно, начальная и конечная точки интервала расположены дальше от среднего, и, таким образом, доверительный интервал для математического ожидания увеличивается.

Точечная и интервальная оценки удельного веса

Удельный вес некоторого признака выборки можно интерпретировать как точечную оценку удельного веса p этого же признака в генеральной совокупности. Если же эту величину нужно связать с вероятностью, то следует рассчитать доверительный интервал удельного веса p признака в генеральной совокупности с вероятностью P = 1 - α :

.

Пример 4. В некотором городе два кандидата A и B претендуют на пост мэра. Случайным образом были опрошены 200 жителей города, из которых 46% ответили, что будут голосовать за кандидата A , 26% - за кандидата B и 28% не знают, за кого будут голосовать. Определить доверительный интервал 95% для удельного веса жителей города, поддерживающих кандидата A .

И др. Все они являются оценками своих теоретических аналогов, которые можно было бы получить, если бы в распоряжении была не выборка, а генеральная совокупность. Но увы, генеральная совокупность – это очень дорого и часто недоступно.

Понятие об интервальном оценивании

Любая выборочная оценка обладает некоторым разбросом, т.к. является случайной величиной, зависящей от значений в конкретной выборке. Стало быть, для более надежных статистических выводов следует знать не только точечную оценку, но и интервал, который с высокой вероятностью γ (гамма) накрывает оцениваемый показатель θ (тета).

Формально, это два таких значения (статистики) T 1 (X) и T 2 (X) , что T 1 < T 2 , для которых при заданном уровне вероятности γ выполняется условие:

Короче, с вероятностью γ или больше истинный показатель находится между точками T 1 (X) и T 2 (X) , которые называются нижней и верхней границей доверительного интервала .

Одним из условий построения доверительных интервалов является его максимальная узость, т.е. он должен быть насколько это возможно коротким. Желание вполне естественно, т.к. исследователь старается точнее локализовать нахождение искомого параметра.

Отсюда следует, что доверительный интервал должен накрывать максимальные вероятности распределения. а сама оценка быть в центре.

То бишь вероятность отклонения (истинного показателя от оценки) в большую сторону равна вероятности отклонения в меньшую сторону. Следует также отметить, что для несимметричных распределений интервал справа не равен интервалу слева.

По рисунку выше отчетливо видно, что чем больше доверительная вероятность, тем шире интервал – прямая зависимость.

Это была небольшая вводная часть в теорию интервального оценивания неизвестных параметров. Перейдем к нахождению доверительных границ для математического ожидания.

Доверительный интервал для математического ожидания

Если исходные данные распределены по , то и среднее будет нормальной величиной. Это следует из того правила, что линейная комбинация нормальных величин также имеет нормальное распределение. Следовательно, для расчета вероятностей мы могли бы использовать математический аппарат нормального закона распределения.

Однако для этого потребуется знать два параметра – матожидание и дисперсию, которые обычно не известны. Можно, конечно, вместо параметров использовать оценки (среднюю арифметическую и ), но тогда распределение средней будет не совсем нормальным, оно будет немного приплюснуто книзу. Этот факт ловко подметил гражданин Уильям Госсет из Ирландии, опубликовав свое открытие в мартовском выпуске журнала «Biometrica» за 1908 год. В целях конспирации Госсет подписался Стьюдентом. Так появилось t-распределение Стьюдента.

Однако нормальное распределение данных, использовавшееся К. Гауссом при анализе ошибок астрономических наблюдений, в земной жизни встречается крайне редко и установить это довольно сложно (для высокой точности необходимо порядка 2 тысяч наблюдений). Поэтому предположение о нормальности лучше всего отбросить и использовать методы, не зависящие от распределения исходных данных.

Возникает вопрос: каково же распределение средней арифметической, если оно рассчитано по данным неизвестного распределения? Ответ дает известная в теории вероятностей Центральная предельная теорема (ЦПТ). В математике существует несколько ее вариантов (на протяжении долгих лет формулировки уточнялись), но все они, грубо говоря, сводятся к утверждению, что сумма большого количества независимых случайных величин подчиняется нормальному закону распределения.

При расчете средней арифметической как раз используется сумма случайных величин. Отсюда получается, что среднее арифметическое имеет нормальное распределение, у которого матожидание – это матожидание исходных данных, а дисперсия – .

Умные люди умеют доказывать ЦПТ, но мы в этом убедимся с помощью эксперимента, проведенного в Excel. Смоделируем выборку из 50-ти равномерно распределенных случайных величин (с помощью функции Excel СЛУЧМЕЖДУ). Затем сделаем 1000 таких выборок и для каждой рассчитаем среднюю арифметическую. Посмотрим на их распределение.

Видно, что распределение средней близко к нормальному закону. Если объем выборок и их количество сделать еще больше, то сходство будет еще лучше.

Теперь, когда мы воочию убедились в справедливости ЦПТ, можно, используя , рассчитать доверительные интервалы для средней арифметической, которые с заданной вероятностью накрывают истинное среднее или математическое ожидание.

Для установления верхней и нижней границы требуется знать параметры нормального распределения. Как правило, их нет, поэтому используют оценки: среднюю арифметическую и выборочную дисперсию . Повторюсь, такой способ дает хорошее приближение только при больших выборках. Когда выборки малые, часто рекомендуют использовать распределение Стьюдента. Не верьте! Распределение Стьюдента для средней бывает только тогда, когда исходные данные имеют нормальное распределение, то есть почти никогда. Поэтому лучше сразу поставить минимальную планку по количеству необходимых данных и использовать асимптотически корректные методы. Говорят, достаточно 30 наблюдений. Берите 50 – не ошибетесь.

T 1,2 – нижняя и верхняя граница доверительного интервала

– выборочное среднее арифметическое

s 0 – среднее квадратичное отклонение по выборке (несмещенное)

n – размер выборки

γ – доверительная вероятность (обычно равна 0,9, 0,95 или 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – обратное значение функции стандартного нормального распределения. По-простому говоря, это количество стандартных ошибок от средней арифметической до нижней или верхней границы (указанным трем вероятностями соответствуют значения 1,64, 1,96 и 2,58).

Суть формулы в том, что берется среднее арифметическое и далее от нее откладывается некоторое количество (с γ ) стандартных ошибок (s 0 /√n ). Все известно, бери и считай.

До массового использования ПЭВМ для получения значений функции нормального распределения и обратной ей использовали . Их и сейчас используют, но эффективнее обратиться к готовым формулам Excel. Все элементы из формулы выше ( , и ) можно легко рассчитать в Excel. Но есть и готовая формула для расчета доверительного интервала – ДОВЕРИТ.НОРМ . Ее синтаксис следующий.

ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)

альфа – уровень значимости или доверительный уровень, который в принятых выше обозначениях равен 1- γ, т.е. вероятность того, что математическое ожидание окажется за пределами доверительного интервала. При доверительной вероятности 0,95, альфа равно 0,05 и т.д.

стандартное_откл – среднее квадратичное отклонение выборочных данных. Стандартную ошибку рассчитывать не нужно, Excel сам разделит на корень из n.

размер – размер выборки (n).

Результат функции ДОВЕРИТ.НОРМ – это второе слагаемое из формулы расчета доверительного интервала, т.е. полуинтервал. Соответственно, нижняя и верхняя точка – это среднее ± полученное значение.

Таким образом, можно построить универсальный алгоритм расчета доверительных интервалов для средней арифметической, который не зависит от распределения исходных данных. Платой за универсальность является его асимптотичность, т.е. необходимость использования относительно больших выборок. Однако в век современных технологий собрать нужное количество данных обычно не представляет трудностей.

Проверка статистических гипотез с помощью доверительного интервала

{module 111}

Одной из главных задач, решаемых в статистике, является . Ее суть вкратце такова. Выдвигается предположение, например, что матожидание генеральной совокупности равно какому-то значению. Затем строится распределение выборочных средних, которые могут наблюдаться при данном матожидании. Далее смотрят, в каком месте этого условного распределения находится реальная средняя. Если она выходит за допустимые пределы, то появление такого среднего очень маловероятно, а при однократном повторении эксперимента почти невозможно, что противоречит выдвинутой гипотезе, которая успешно отклоняется. Если же среднее не выходит за критический уровень, то гипотеза не отклоняется (но и не доказывается!).

Так вот с помощью доверительных интервалов, в нашем случае для матожидания, также можно проверять некоторые гипотезы. Это очень просто сделать. Допустим, средняя арифметическая по некоторой выборке равна 100. Проверяется гипотеза о том, что матожидание равно, допустим, 90. То есть, если поставить вопрос примитивно, то он звучит так: может ли такое быть, чтобы при истинном значении средней равной 90, наблюдаемая средняя оказалась равна 100?

Для ответа на этот вопрос дополнительно потребуется информация о среднем квадратичном отклонении и размере выборки. Допустим среднеквадратичное отклонение равно 30, а количество наблюдений 64 (чтобы легко извлечь корень). Тогда стандартная ошибка средней равна 30/8 или 3,75. Для расчета 95% доверительного интервала потребуется отложить в обе стороны от средней по две стандартные ошибки (точнее, по 1,96). Доверительный интервал получится примерно 100±7,5 или от 92,5 до 107,5.

Далее рассуждения следующие. Если проверяемое значение попадает в доверительный интервал, то оно не противоречит гипотезе, т.к. укладывается в пределы случайных колебаний (с вероятностью 95%). Если проверяемая точка выходит за пределы доверительного интервала, то вероятность такого события очень маленькая, во всяком случае ниже допустимого уровня. Значит, гипотезу отклоняют, как противоречащую наблюдаемым данным. В нашем случае гипотеза о матожидании находится за пределами доверительного интервала (проверяемое значение 90 не входит в интервал 100±7,5), поэтому ее следует отклонить. Отвечая на примитивный вопрос выше, следует сказать: нет не может, во всяком случае такое случается крайне редко. Часто при этом указывают конкретную вероятность ошибочного отклонения гипотезы (p-level), а не заданный уровень, по которому строился доверительный интервал, но об этом в другой раз.

Как видим, построить доверительный интервал для среднего (или математического ожидания) несложно. Главное, уловить суть, а дальше дело пойдет. На практике в большинстве случаев используются 95% доверительный интервал, который имеет в ширину примерно две стандартные ошибки по обе стороны от средней.

На этом пока все. Всех благ!

В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее - это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 - точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.

При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении

Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности

В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .

где p S - выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р - доля признака в генеральной совокупности, Z - критическое значение стандартизованного нормального распределения, n - объем выборки.

Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.

Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.

Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.

В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности

Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:

Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Доверительные интервалы и этические проблемы

При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них - как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка - именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.

Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.

Следующая заметка

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.